Dependența liniară a sistemului de vectori. Vectori coliniari. Dependența liniară și independența vectorilor Dependența liniară și independența liniară a vectorilor. Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

Fie funcțiile , au derivate ale limitei (n-1).

Luați în considerare determinantul: (1)

W(x) se numește determinant Wronsky pentru funcții.

Teorema 1. Dacă funcțiile sunt dependente liniar în intervalul (a, b), atunci Wronskianul lor W(x) este identic egal cu zero în acest interval.

Dovada. După condiția teoremei, relația

, (2) unde nu toate sunt egale cu zero. Lăsa . Apoi

(3). Diferențiază această identitate de n-1 ori și,

Înlocuind în locul valorilor obținute în determinantul Vronsky,

primim:

(4).

În determinantul Wronsky, ultima coloană este o combinație liniară a coloanelor anterioare n-1 și, prin urmare, este zero în toate punctele din intervalul (a, b).

Teorema 2. Dacă funcțiile y1,…, yn sunt soluții liniar independente ale ecuației L[y] = 0, a căror toți coeficienții sunt continui în intervalul (a, b), atunci Wronskianul acestor soluții este diferit de zero în fiecare punct al intervalul (a, b).

Dovada. Să presupunem contrariul. Există X0, unde W(X0)=0. Compunem un sistem de n ecuații

(5).

În mod evident, sistemul (5) are o soluție diferită de zero. Fie (6).

Să compunem o combinație liniară de soluții y1,…, yn.

Y(x) este o soluție a ecuației L[y] = 0. În plus, . În virtutea teoremei unicității, soluția ecuației L[y] = 0 cu condiții inițiale zero nu poate fi decât zero, adică .

Obținem identitatea , unde nu toate sunt egale cu zero, ceea ce înseamnă că y1,…, yn sunt dependente liniar, ceea ce contrazice condiția teoremei. Prin urmare, nu există un astfel de punct în care W(X0)=0.

Pe baza teoremei 1 și teoremei 2, putem formula următoarea afirmație. Pentru ca n soluții ale ecuației L[y] = 0 să fie liniar independente în intervalul (a, b), este necesar și suficient ca Wronskianul lor să nu dispară în niciun punct al acestui interval.

Următoarele proprietăți evidente ale lui Wronskian decurg, de asemenea, din teoremele demonstrate.

1. Dacă Wronskianul a n soluții ale ecuației L[y] = 0 este egal cu zero într-un punct x = x0 din intervalul (a, b) în care toți coeficienții pi(x) sunt continui, atunci este egal cu zero în toate punctele acestui interval.
2. Dacă Wronskianul a n soluții ale ecuației L[y] = 0 este diferit de zero într-un punct x = x0 din intervalul (a, b), atunci este diferit de zero în toate punctele acestui interval.

Astfel, pentru liniaritatea a n soluții independente ale ecuației L[y] = 0 în intervalul (a, b), în care coeficienții ecuației pi(x) sunt continui, este necesar și suficient ca Wronskianul lor să fie diferit de zero cel puțin într-un punct al acestui interval.

Def. Sistem de elemente x 1 ,…,x m lin. producția V se numește dependentă liniar dacă ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) astfel încât λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def. Un sistem de elemente x 1 ,…,x m ∈ V se numește liniar independent dacă din egalitatea λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def. Un element x ∈ V se numește o combinație liniară de elemente x 1 ,…,x m ∈ V dacă ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ astfel încât x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Teorema (criteriul dependenței liniare): Un sistem de vectori x 1 ,…,x m ∈ V este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin un vector al sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți.

Doc. Necesitate: Fie x 1 ,…,x m dependent liniar ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) astfel încât λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Să presupunem că λ m ≠ 0, atunci

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Adecvarea: Fie ca cel puțin unul dintre vectori să fie exprimat liniar în termenii celorlalți vectori: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - sunt liniar independente.

Ven. condiție de dependență liniară:

Dacă sistemul conține un element zero sau un subsistem dependent liniar, atunci este dependent liniar.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – sistem liniar dependent

1) Fie x 1 = θ, atunci această egalitate este valabilă pentru λ 1 =1 și λ 1 =…= λ m =0.

2) Fie λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 un subsistem dependent liniar ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Atunci pentru λ 1 =0 se obține și |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 este un sistem dependent liniar.

Baza unui spațiu liniar. Coordonatele vectoriale în baza dată. Coordonatele sumelor vectorilor și produsul unui vector cu un număr. Necesar și condiție suficientă dependența liniară a sistemului de vectori.

Definiție: Un sistem ordonat de elemente e 1, ..., e n al unui spațiu liniar V se numește bază a acestui spațiu dacă:

A) e 1 ... e n sunt liniar independente

B) ∀ x ∈ α 1 … α n astfel încât x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – extinderea elementului x în baza e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ sunt coordonatele elementului x în baza e 1, …, e n

Teorema: Dacă baza e 1, …, e n este dată în spațiul liniar V, atunci ∀ x ∈ V coloana de coordonate x din baza e 1, …, e n este determinată în mod unic (coordonatele sunt determinate în mod unic)

Dovada: Fie x=α 1 e 1 +…+ α n e n și x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, adică e 1, …, e n sunt liniar independente, atunci - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Teorema: fie e 1, …, e n baza spațiului liniar V; x, y sunt elemente arbitrare ale spațiului V, λ ∈ ℝ este un număr arbitrar. Când se adună x și y, se adună coordonatele lor, când x este înmulțit cu λ, coordonatele lui x sunt, de asemenea, înmulțite cu λ.

Dovada: x= (e 1, …, e n) și y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Lema 1: (condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a unui sistem de vectori)

Fie e 1 …e n baza spațiului V. Sistemul de elemente f 1 , …, f k ∈ V este dependent liniar dacă și numai dacă coloanele de coordonate ale acestor elemente din baza e 1, …, e n sunt dependent liniar

Dovada: extinde f 1 , …, f k în baza e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] adică λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = după caz.

13. Dimensiunea unui spațiu liniar. Teoremă privind relația dintre dimensiune și bază.
Definiție: Un spațiu liniar V se numește spațiu n-dimensional dacă există n elemente liniar independente în V, iar un sistem de orice n + 1 elemente ale spațiului V este dependent liniar. În acest caz, n se numește dimensiunea spațiului liniar V și se notează dimV=n.

Un spațiu liniar se numește infinit-dimensional dacă ∀N ∈ ℕ în spațiul V există un sistem liniar independent care conține N elemente.

Teorema: 1) Dacă V este un spațiu liniar n-dimensional, atunci orice sistem ordonat de n elemente liniar independente ale acestui spațiu formează o bază. 2) Dacă în spațiul liniar V există o bază formată din n elemente, atunci dimensiunea lui V este egală cu n (dimV=n).

Dovada: 1) Fie dimV=n ⇒ în V ∃ n elemente liniar independente e 1, …,e n . Demonstrăm că aceste elemente formează o bază, adică demonstrăm că ∀ x ∈ V poate fi extins în termeni de e 1, …,e n . Să adăugăm x la ele: e 1, …,e n , x – acest sistem conține n+1 vectori, ceea ce înseamnă că este dependent liniar. Deoarece e 1, …,e n este liniar independentă, atunci prin teorema 2 X exprimat liniar prin e 1, …,e n i.e. ∃ ,…, astfel încât x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Deci e 1, …,e n este baza spațiului V. 2) Fie e ​​1, …,e n baza lui V, deci există n elemente liniar independente în V ∃ n. Luați arbitrar f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 elemente. Să arătăm dependența lor liniară. Să le defalcăm în termeni de:

f m =(e 1, …,e n) = unde m = 1,…,n Să creăm o matrice de coloane de coordonate: A= Matricea conține n rânduri ⇒ RgA≤n. Numărul de coloane n+1 > n ≥ RgA ⇒ Coloanele matricei A (adică coloanele de coordonate f 1 ,…,f n ,f n +1) sunt dependente liniar. Din lema 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 sunt dependente liniar ⇒ dimV=n.

Consecinţă: Dacă orice bază conține n elemente, atunci orice altă bază a acestui spațiu conține n elemente.

Teorema 2: Dacă sistemul de vectori x 1 ,… ,x m -1 , x m este liniar dependent, iar subsistemul său x 1 ,… ,x m -1 este liniar independent, atunci x m - se exprimă liniar prin x 1 ,… ,x m -1

Dovada: Deoarece x 1 ,… ,x m -1 , x m este dependent liniar, atunci ∃ , …, , ,

, …, | , | astfel încât . Dacă , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 sunt liniar independente, ceea ce nu poate fi. Deci m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Rețineți că în cele ce urmează, fără pierderi de generalitate, vom lua în considerare cazul vectorilor din spațiul tridimensional. Pe plan, luarea în considerare a vectorilor se realizează într-un mod similar. După cum sa menționat mai sus, toate rezultatele cunoscute din cursul algebrei liniare pentru vectori algebrici pot fi transferate în cazul particular al vectorilor geometrici. Deci hai sa o facem.

Lasă vectorii să fie fixați.

Definiție. Suma, unde sunt unele numere, se numește o combinație liniară de vectori. În acest caz, aceste numere vor fi numite coeficienți ai combinației liniare.

Ne va interesa problema posibilității de egalitate a unei combinații liniare cu un vector zero. În conformitate cu proprietățile și axiomele spațiilor vectoriale, devine evident că pentru orice sistem de vectori există o mulțime trivială (zero) de coeficienți, pentru care această egalitate este valabilă:

Se pune problema existenței pentru un sistem dat de vectori a unei mulțimi netriviale de coeficienți (printre care există cel puțin un coeficient nenul), pentru care egalitatea menționată este valabilă. În conformitate cu aceasta, vom distinge între sisteme dependente liniar și independente.

Definiție. Un sistem de vectori se numește liniar independent dacă există o astfel de mulțime de numere, printre care există cel puțin unul diferit de zero, astfel încât combinația liniară corespunzătoare să fie egală cu vectorul zero:

Un sistem de vectori se numește liniar independent dacă egalitatea

este posibilă numai în cazul unui set trivial de coeficienți:

Să enumerăm principalele proprietăți ale sistemelor liniar dependente și independente demonstrate în cursul algebrei liniare.

1. Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

2. Să existe un subsistem dependent liniar în sistemul de vectori. Atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

3. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

4. Dacă într-un sistem de vectori există doi vectori, dintre care unul se obține din celălalt prin înmulțirea cu un anumit număr, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Teorema (criteriul dependenței liniare). Un sistem de vectori este dependent liniar dacă și numai dacă unul dintre vectorii acestui sistem poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți vectori ai sistemului.

Ținând cont de criteriul coliniarității a doi vectori, se poate argumenta că criteriul dependenței liniare a acestora este coliniaritatea lor. Pentru trei vectori din spațiu, următoarea afirmație este adevărată.

Teoremă (criteriul dependenței liniare a trei vectori geometrici). Trei vectori și sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coplanari.

Dovada.

Necesitate. Fie vectorii și să fie liniar dependenți. Haideți să le dovedim comparabilitatea. Apoi, conform criteriului general al dependenței liniare a vectorilor algebrici, afirmăm că unul dintre acești vectori poate fi reprezentat ca o combinație liniară a altor vectori. Să, de exemplu,

Dacă toți cei trei vectori și sunt aplicați la o origine comună, atunci vectorul va coincide cu diagonala paralelogramului construit pe vectorii și. Dar aceasta înseamnă că vectorii și se află în același plan, adică. coplanare.

Adecvarea. Fie vectorii și să fie coplanari. Să arătăm că sunt dependente liniar. În primul rând, luați în considerare cazul când orice pereche de vectori indicați este coliniară. În acest caz, conform teoremei anterioare, sistemul de vectori , , conține un subsistem dependent liniar și, prin urmare, este el însuși dependent liniar conform proprietății 2 a sistemelor de vectori liniar dependente și independente. Să nu fie acum coliniar nicio pereche de vectori luati în considerare. Transferăm toți cei trei vectori într-un singur plan și îi aducem la o origine comună. Desenați până la capătul liniilor vectoriale paralele cu vectorii și . Fie ca litera să desemneze punctul de intersecție al dreptei paralele cu vectorul cu dreapta pe care se află vectorul și prin literă punctul de intersecție al dreptei paralele cu vectorul cu dreapta pe care se află vectorul. Prin definiția sumei vectorilor, obținem:

.

Deoarece vectorul este coliniar cu un vector diferit de zero, există un număr real astfel încât

Consideraţii similare implică existenţa unui număr real astfel încât

Ca urmare, vom avea:

Apoi, din criteriul general pentru dependența liniară a vectorilor algebrici, obținem că vectorii , , sunt liniar dependenți. ■

Teorema (dependența liniară a patru vectori). Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.

Dovada. În primul rând, luați în considerare cazul în care orice triplu dintre cei patru vectori indicați este coplanar. În acest caz, acest triplu este dependent liniar în conformitate cu teorema anterioară. Prin urmare, în conformitate cu proprietatea a 2 sisteme de vectori dependente liniar și independente, și întregul cvadruplu este dependent liniar.

Să fie acum, printre vectorii luați în considerare, niciun triplu de vectori să nu fie coplanar. Să aducem toți cei patru vectori , , , la un început comun și să desenăm plane până la sfârșitul vectorului paralel cu planurile definite de perechi de vectori , ; , ; , . Punctele de intersecție ale planurilor indicate cu liniile pe care se află vectorii și sunt notate cu literele , și, respectiv. Din definiţia sumei vectorilor rezultă că

care, ținând cont de criteriul general al dependenței liniare a vectorilor algebrici, spune că toți cei patru vectori sunt dependenți liniar. ■

Introdus de noi operații liniare peste vectori face posibilă crearea diferitelor expresii pentru cantități vectorialeși transformați-le folosind proprietățile setate pentru aceste operații.

Pe baza unui set dat de vectori a 1 , ... și n , puteți compune o expresie de forma

unde a 1 , ... și n sunt numere reale arbitrare. Această expresie se numește combinație liniară de vectori a 1 , ..., a n . Numerele α i , i = 1, n , sunt coeficienți de combinație liniară. Se mai numește și mulțimea vectorilor sistem vectorial.

În legătură cu conceptul introdus de combinație liniară de vectori, se pune problema descrierii mulțimii de vectori care pot fi scrise ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori a 1 , ..., a n . În plus, întrebările despre condițiile în care există o reprezentare a unui vector sub forma unei combinații liniare și despre unicitatea unei astfel de reprezentări sunt naturale.

Definiție 2.1. Vectorii a 1 , ... și n sunt numiți dependent liniar, dacă există o astfel de mulţime de coeficienţi α 1 , ... , α n care

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

și cel puțin unul dintre acești coeficienți este diferit de zero. Dacă setul specificat de coeficienți nu există, atunci vectorii sunt numiți liniar independent.

Dacă α 1 = ... = α n = 0, atunci, evident, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Având în vedere acest lucru, putem spune următoarele: vectori a 1 , ..., și n sunt liniar independenți dacă din egalitatea (2.2) rezultă că toți coeficienții α 1 , ... , α n sunt egali cu zero.

Următoarea teoremă explică de ce noul concept este numit termenul „dependență” (sau „independență”) și oferă un criteriu simplu pentru dependența liniară.

Teorema 2.1. Pentru ca vectorii a 1 , ..., și n , n > 1 să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca unul dintre ei să fie o combinație liniară a celorlalți.

◄ Necesitatea. Să presupunem că vectorii a 1 , ... și n sunt dependenți liniar. Conform definiției 2.1 a dependenței liniare, în egalitatea (2.2) există cel puțin un coeficient diferit de zero în stânga, de exemplu α 1 . Lăsând primul termen în partea stângă a egalității, mutăm restul în partea dreaptă, schimbându-le semnele ca de obicei. Împărțind egalitatea rezultată la α 1 , obținem

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

acestea. reprezentarea vectorului a 1 ca o combinație liniară a vectorilor rămași a 2 , ... și n .

Adecvarea. Fie, de exemplu, primul vector a 1 poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Transferând toți termenii din partea dreaptă spre stânga, obținem un 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, adică. combinație liniară de vectori a 1 , ... și n cu coeficienți α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , egal cu vector zero.În această combinație liniară, nu toți coeficienții sunt egali cu zero. Conform definiției 2.1, vectorii a 1 , ... și n sunt dependenți liniar.

Definiția și criteriul dependenței liniare sunt formulate în așa fel încât să implice prezența a doi sau mai mulți vectori. Totuși, se poate vorbi și despre o dependență liniară a unui vector. Pentru a realiza această posibilitate, în loc de „vectorii sunt dependenți liniar” trebuie să spunem „sistemul de vectori este dependent liniar”. Este ușor de observat că expresia „un sistem de un vector este dependent liniar” înseamnă că acest singur vector este zero (există un singur coeficient într-o combinație liniară și nu trebuie să fie egal cu zero).

Conceptul de dependență liniară are o interpretare geometrică simplă. Această interpretare este clarificată de următoarele trei afirmații.

Teorema 2.2. Doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coliniare.

◄ Dacă vectorii a și b sunt dependenți liniar, atunci unul dintre ei, de exemplu a, este exprimat prin celălalt, adică. a = λb pentru un număr real λ. Conform definiției 1.7 lucrări vectori printr-un număr, vectorii a și b sunt coliniari.

Acum să fie vectorii a și b coliniari. Dacă ambele sunt zero, atunci este evident că sunt dependente liniar, deoarece orice combinație liniară a acestora este egală cu vectorul zero. Fie ca unul dintre acești vectori să nu fie egal cu 0, de exemplu vectorul b. Notăm cu λ raportul lungimilor vectorilor: λ = |а|/|b|. Vectorii coliniari pot fi unidirecțional sau directii opuse. În acest din urmă caz, schimbăm semnul lui λ. Apoi, verificând Definiția 1.7, vedem că a = λb. Conform teoremei 2.1, vectorii a și b sunt liniar dependenți.

Observație 2.1.În cazul a doi vectori, ținând cont de criteriul dependenței liniare, teorema demonstrată poate fi reformulată astfel: doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă unul dintre ei este reprezentat ca produs al celuilalt printr-un număr. Acesta este un criteriu convenabil pentru coliniaritatea a doi vectori.

Teorema 2.3. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coplanare.

◄ Dacă trei vectori a, b, c sunt liniar dependenți, atunci, conform teoremei 2.1, unul dintre ei, de exemplu a, este o combinație liniară a celorlalți: a = βb + γc. Să combinăm originile vectorilor b și c în punctul A. Atunci vectorii βb, γc vor avea o origine comună în punctul A și paralelogramul își reglează suma, acestea. vector a, va fi un vector cu începutul A și Sfârşit, care este vârful unui paralelogram construit pe vectori sumand. Astfel, toți vectorii se află în același plan, adică sunt coplanari.

Fie vectorii a, b, c coplanari. Dacă unul dintre acești vectori este zero, atunci este evident că va fi o combinație liniară a celorlalți. Este suficient să luăm toți coeficienții combinației liniare egale cu zero. Prin urmare, putem presupune că toți cei trei vectori nu sunt zero. Compatibil start aceşti vectori într-un punct comun O. Fie capetele lor, respectiv, punctele A, B, C (Fig. 2.1). Desenați drepte prin punctul C paralele cu liniile care trec prin perechi de puncte O, A și O, B. Notând punctele de intersecție A" și B", obținem un paralelogram OA"CB", prin urmare, OC" = OA" + OB " . Vector OA" și vectorul diferit de zero a= OA sunt coliniare și, prin urmare, primul dintre ele poate fi obținut prin înmulțirea celui de-al doilea cu un număr real α:OA" = αOA. În mod similar, OB" = βOB , β ∈ R. Ca rezultat, obținem că OC" = α OA + βOB , adică vectorul c este o combinație liniară a vectorilor a și b. Conform teoremei 2.1, vectorii a, b, c sunt liniar dependenți.

Teorema 2.4. Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.

◄ Demonstrarea urmează aceeași schemă ca în teorema 2.3. Luați în considerare patru vectori arbitrari a, b, c și d. Dacă unul dintre cei patru vectori este zero, sau există doi vectori coliniari printre ei sau trei dintre cei patru vectori sunt coplanari, atunci acești patru vectori sunt dependenți liniar. De exemplu, dacă vectorii a și b sunt coliniari, atunci putem compune combinația lor liniară αa + βb = 0 cu coeficienți nenuli, apoi adăugați cei doi vectori rămași la această combinație, luând zerouri ca coeficienți. Obținem o combinație liniară de patru vectori egali cu 0, în care există coeficienți nenuli.

Astfel, putem presupune că dintre cei patru vectori aleși nu există nuli, nici doi nu sunt coliniari și nici trei nu sunt coplanari. Alegem ca început comun punctul O. Atunci capetele vectorilor a, b, c, d vor fi niște puncte A, B, C, D (Fig. 2.2). Prin punctul D trasăm trei plane paralele cu planurile ОВС, OCA, OAB, și fie A", B", С" punctele de intersecție ale acestor plane cu dreptele OA, OB, respectiv OS. Obținem un paralelipiped OA"C"B"C" B"DA", iar vectorii a, b, c se află pe marginile sale care ies din vârful O. Deoarece patrulaterul OC"DC" este un paralelogram, atunci OD = OC" + OC ". La rândul său, segmentul OS" este un paralelogram diagonal OA"C"B", deci OC" = OA" + OB" și OD = OA" + OB" + OC" .

Rămâne de observat că perechile de vectori OA ≠ 0 și OA" , OB ≠ 0 și OB" , OC ≠ 0 și OC" sunt coliniari și, prin urmare, putem alege coeficienții α, β, γ astfel încât OA" = αOA, OB" = βOB și OC" = yOC. În cele din urmă, obținem OD = αOA + βOB + γOC . În consecință, vectorul OD este exprimat în termenii celor trei vectori rămași, iar toți cei patru vectori, conform teoremei 2.1, sunt liniar dependenți.

Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În public există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar astăzi fiecare vizitator va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va atinge simultan două secțiuni de matematică superioară și vom vedea cum se înțeleg într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă Twix! ... la naiba, ei bine, argumentând prostii. Deși bine, nu voi înscrie, în cele din urmă, ar trebui să existe o atitudine pozitivă de a studia.

Dependența liniară a vectorilor, independența liniară a vectorilor, baza vectoriala iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare este departe de a fi întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta în plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul meteo, pentru care tocmai am fost la Gismeteo: - temperatura, respectiv presiunea atmosferica. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) sunt aplicabili tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar exemplele vor fi date geometric. Astfel, totul este simplu, accesibil și vizual. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva sarcini tipice ale algebrei. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineȘi Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Luați în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, blatul mesei are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv clar că sunt necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este în mod clar suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Pe baza alese setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor elementelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător al mâinii stângi pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic al mâinii drepte pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce se poate spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în lecție. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul mesei computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, în timp ce un avion are o lungime și o lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile, expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar Nu sunt dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este primită. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „oblică” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale extins din punct de vedere al bazei:
, unde sunt numerele reale . Se numesc numere coordonate vectorialeîn această bază.

Ei spun si asta vectorprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăbază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, se poate spune că un vector este extins pe o bază ortonormală a planului sau se poate spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definiția de bază oficial: pe bază de avion este o pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice vectorul plan este o combinație liniară a vectorilor de bază.

Punctul esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. bazele Acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu poate fi mutat în locul degetului mic al mâinii drepte.

Ne-am dat seama de bază, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe întregul plan. Deci, cum atribui coordonatele acelor puncte mici murdare de tabel rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de punct de referință este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Înțelegerea sistemului de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva dintre diferențele dintre un sistem de coordonate dreptunghiular și o bază ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbim despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea ele înseamnă originea coordonatelor, axele de coordonateși scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” în motorul de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să trasați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se are impresia că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi bine definit în termeni de bază ortonormală. Și aproape că este. Formularea sună astfel:

origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al planului . Adică un sistem de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea, vedeți desenul pe care l-am dat mai sus - în problemele geometrice, atât vectorii, cât și axele de coordonate sunt deseori (dar departe de a fi întotdeauna) desenați.

Cred că toată lumea înțelege asta cu ajutorul unui punct (origine) și a unei baze ortonormale ORICE PUNCT al planului și ORICE VECTOR al planului pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul din avion poate fi numerotat”.

Sunt obligați vectori de coordonate fi singular? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali de lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori definește grila de coordonate, iar orice punct al planului, orice vector are propriile coordonate în baza dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unu, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, se consideră unități de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de pe abscisă conține 4 cm, o unitate de pe ordonată conține 2 cm. Aceste informații sunt suficiente pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”, dacă este necesar.

Și a doua întrebare, la care de fapt a primit deja răspuns - este unghiul dintre vectorii de bază în mod necesar egal cu 90 de grade? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , a stabilit sistemul de coordonate afín al planului :

Uneori se numește acest sistem de coordonate oblic sistem. Punctele și vectorii sunt prezentate ca exemple în desen:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil, formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, pe care le-am considerat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el. Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz particular al unui sistem de coordonate afine este sistemul dreptunghiular cartezian. Prin urmare, ea, a ei, cel mai adesea trebuie văzută. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există multe situații în care este potrivit să aveți un oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, și umanoizii astfel de sisteme pot veni la gust =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru un sistem de coordonate dreptunghiular, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este disponibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani sunt coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor respective să fie proporționale.În esență, aceasta este o rafinare coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Soluţie:
a) Aflați dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Asigurați-vă că spuneți despre varietatea de aplicații „foppish”. această regulă, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să întocmești imediat o proporție și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută și invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotestare, se poate folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin altul. În acest caz, există egalități . Valabilitatea lor poate fi verificată cu ușurință prin operații elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Compuneți proporția din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, prin urmare, acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, recenzenții nu resping această opțiune, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să rezolvi proporția aici? (Serios, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

La ce valoare a vectorilor parametri va fi coliniar?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm doar ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani, următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este egal cu zero.

Chiar sper asta acest momentînțelegi deja toți termenii și declarațiile îndeplinite.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a utiliza această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Vom decide Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor :
, deci acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul compus din coordonatele vectorilor :
, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Pare mult mai compact și mai frumos decât soluția cu proporții.

Cu ajutorul materialului considerat, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și să se demonstreze paralelismul segmentelor, liniilor drepte. Luați în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să construiți un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Amintiți-vă definiția paralelogramului:
Paralelogram Se numește patrulater, în care laturile opuse sunt paralele pe perechi.

Astfel, trebuie să demonstrăm:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și .

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („conform școlii” - vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să iei decizia corect, cu aranjamentul. Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:
, deci acești vectori sunt coliniari și .

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele pe perechi, deci este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient doar să vă amintiți cum arată.

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Soluție completă la sfarsitul lectiei.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale cu.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

A) ;
b)
V)

Soluţie:
a) Verificați dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se face prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali și printr-un determinant de ordinul trei, această metodă este tratată în articol Produsul încrucișat al vectorilor.

Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor și liniilor spațiale.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor spațiali tridimensionali.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre regularitățile pe care le-am luat în considerare în avion vor fi valabile și pentru spațiu. Am încercat să păstrez rezumatul teoriei cât mai scurt posibil, pentru că Partea leului informațiile au fost deja stricate. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul mesei computerului, să examinăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, sunt necesari trei vectori spațiali pentru a construi baza. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să vă întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, se uită în direcții diferite, au lungime diferităși au unghiuri diferite unul față de celălalt. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu trebuie să le demonstrați profesorilor acest lucru, indiferent cum vă răsuciți degetele, dar nu puteți scăpa de definiții =)

În continuare, să întrebăm problema importanta, dacă oricare trei vectori formează o bază a unui spațiu tridimensional? Vă rugăm să apăsați cu trei degete ferm pe blatul mesei computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre măsurători - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, destul de evident, că baza spațiului tridimensional nu este creată.

De remarcat că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali s-a desprins așa =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele. Aici este logic să adăugăm că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, imaginați-vă din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Afirmația opusă este de asemenea adevărată: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu se exprimă în niciun fel unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza unui spațiu tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, în timp ce orice vector al spațiului singura cale se extinde în baza dată, unde sunt coordonatele vectorului în baza dată

Ca o reamintire, puteți spune, de asemenea, că un vector este reprezentat ca combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca și pentru cazul plan, un punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:

origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite să categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar cu planul, în sistemul de coordonate afine al spațiului, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, așa cum toată lumea poate ghici, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

punct din spațiu numit origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al spațiului . poza familiara:

Înainte de a trece la sarcinile practice, sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Afirmațiile opuse, cred, sunt de înțeles.

Dependența liniară/independența vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind determinantul (articolul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să atârnați un băț geometric pe un cui și să mânuiți o bâtă de baseball algebră liniară:

Trei vectori spațiali sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba de aici - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate că sunt deloc prost orientați, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza unui spațiu tridimensional:

Soluţie: De fapt, toată soluția se rezumă la calcularea determinantului.

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor (determinantul este extins pe prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza unui spațiu tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează baza

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:

În esență, este necesar să se rezolve o ecuație cu un determinant. Zburăm în zerouri ca zmeele în jerboas - cel mai profitabil este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cel mai simplu ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru aceasta trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul original și să vă asigurați că prin redeschiderea acestuia.

În concluzie, să luăm în considerare o altă problemă tipică, care este mai mult de natură algebrică și este inclusă în mod tradițional în cursul algebrei liniare. Este atât de comun încât merită un subiect separat:

Demonstrați că 3 vectori formează baza unui spațiu tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în baza dată

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază a spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie: Să ne ocupăm mai întâi de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este baza - nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și primul pas este complet același cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:

Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:

, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază a unui spațiu tridimensional.