Raportul vectorilor. Vector. Ce este un vector? Produs vectorial sub formă de coordonate

VECTORI. ACȚIUNIDE MAI SUSVECTORI. SCALAR,

VECTOR, PRODUS MIXTE DE VECTORI.

1. VECTORI, ACȚIUNI PE VECTORI.

Definiții de bază.

Definiția 1. Se numește o mărime care este pe deplin caracterizată prin valoarea sa numerică în sistemul ales de unități scalar sau scalar .

(greutate corporală, volum, timp etc.)

Definiția 2. Se numește o mărime caracterizată printr-o valoare numerică și o direcție vector sau vector .

(deplasare, forță, viteză etc.)

Denumiri: , sau , .

Un vector geometric este un segment direcționat.

Pentru vector - punct A- punctul de inceput ÎN este sfârșitul vectorului.

Definiția 3.Modul vector este lungimea segmentului AB.

Definiția 4. Se numește un vector al cărui modul este zero zero , este indicat.

Definiția 5. Se numesc vectori situati pe linii paralele sau pe aceeasi linie coliniare . Dacă doi vectori coliniari au aceeași direcție, se numesc co-directional .

Definiția 6. Se consideră doi vectori egal , dacă ei co-regizat și sunt egale ca modul.

Acțiuni asupra vectorilor.

1) Adunarea vectorilor.

Def. 6.sumă doi vectori și este diagonala paralelogramului construit pe acești vectori, provenind dintr-un punct comun al aplicării lor (regula paralelogramului).

Fig.1.

Def. 7. Suma a trei vectori , , este diagonala paralelipipedului construit pe acești vectori (regula paralelepipedelor).

Def. 8. Dacă A, ÎN, CU sunt puncte arbitrare, atunci + = (regula triunghiului).

fig.2

Proprietăți de adaos.

1 O . + = + (legea deplasării).

2 O . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (lege asociativă).

3 O . + (– ) + .

2) Scăderea vectorilor.

Def. 9. Sub diferență vectori și înțelegerea vectorului = - astfel încât + = .

Într-un paralelogram, acesta este altul diagonală SD (vezi fig. 1).

3) Înmulțirea unui vector cu un număr.

Def. 10. muncă vector la scalar k numit vector

= k = k ,

lung ka , și direcția, care:

1. coincide cu direcţia vectorului dacă k > 0;

2. opus direcţiei vectorului dacă k < 0;

3. în mod arbitrar dacă k = 0.

Proprietăți de înmulțire a unui vector cu un număr.

1 O . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Proprietăți vectoriale.

Def. unsprezece. Doi vectori și se numesc coliniare dacă sunt situate pe linii paralele sau la o linie dreaptă.

Vectorul zero este coliniar cu orice vector.

Teorema 1. Doi vectori nenuli și coliniar,  când sunt proporționale adică.

= k , k - scalar.

Def. 12. Se numesc trei vectori , , coplanare dacă sunt paralele cu un plan sau se află în el.

Teorema 2. Trei vectori nenuli , , coplanar,  când una dintre ele este o combinație liniară a celorlalte două, adică.

= k + l , k , l - scalari.

Proiecția unui vector pe o axă.

Teorema 3. Proiecția unui vector pe o axă (linie direcționată) l este egal cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția vectorului și direcția axei, i.e. = A  c os  ,  = ( , l).

2. COORDONATE VECTORALE

Def. 13. Proiectii vectoriale pe axe de coordonate Oh, OU, Oz numit coordonate vectoriale. Denumire:  A X , A y , A z .

Lungimea vectorului:

Exemplu: Calculați lungimea vectorului.

Soluţie:

Distanța dintre puncte Și calculat prin formula: .

Exemplu: Aflați distanța dintre punctele M (2,3,-1) și K (4,5,2).

Acțiuni asupra vectorilor sub formă de coordonate.

Dați vectori = A X , A y , A z și = b X , b y , b z .

1. (  )= A X  b X , A y  b y , A z  b z .

2.  =   A X ,  A y ,  A z, unde  - scalar.

Produsul scalar al vectorilor.

Definiție: Sub produsul scalar a doi vectori și

este înțeles ca un număr egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei, adică. = , - unghiul dintre vectori si .

Proprietățile produsului punct:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , unde sunt scalari.

6. doi vectori sunt perpendiculari (ortogonali) dacă .

7. dacă şi numai dacă .

Produsul scalar sub forma de coordonate are forma: , unde si .

Exemplu: Aflați produsul scalar al vectorilor și

Soluţie:

Vector care deține vectori.

Definiție: Produsul vectorial al doi vectori și este înțeles ca un vector pentru care:

Modulul este egal cu aria paralelogramului construit pe acești vectori, adică. , unde este unghiul dintre vectorii și

Acest vector este perpendicular pe vectorii înmulțiți, adică.

Dacă vectorii sunt necoliniari, atunci formează un triplu drept de vectori.

Proprietăți încrucișate ale produsului:

1. Când se modifică ordinea factorilor, produsul vectorial își schimbă semnul în sens opus, păstrând modulul, adică.

2 .Patratul vectorial este egal cu vectorul zero, i.e.

3 .Factorul scalar poate fi scos din semnul produsului vectorial, i.e.

4 .Pentru oricare trei vectori, egalitatea

5 .Necesar și condiție suficientă coliniaritatea a doi vectori și:

Produs vectorial sub formă de coordonate.

Dacă coordonatele vectorilor şi , atunci produsul lor vectorial este găsit prin formula:

.

Apoi, din definiția unui produs încrucișat rezultă că aria unui paralelogram construit pe vectori și este calculată prin formula:

Exemplu: Calculați aria unui triunghi cu vârfuri (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Soluţie: .

Apoi aria triunghiului ABC va fi calculată după cum urmează:

,

Produs mixt al vectorilor.

Definiție: Un produs mixt (vector-scalar) al vectorilor este un număr determinat de formula: .

Proprietăți mixte ale produsului:

1. Produsul amestecat nu se modifică cu o permutare ciclică a factorilor săi, adică. .

2. Când doi factori învecinați sunt interschimbați, produsul mixt își schimbă semnul în sens opus, adică. .

3 .Condiție necesară și suficientă pentru ca trei vectori să fie coplanari : =0.

4 .Produsul mixt a trei vectori este egal cu volumul paralelipipedului construit pe acești vectori, luat cu semnul plus dacă acești vectori formează un triplu drept, iar cu un semn minus dacă formează un triplu stâng, adică. .

Daca este cunoscut coordonate vectori , apoi produsul amestecat se găsește după formula:

Exemplu: Calculați produsul mixt al vectorilor.

Soluţie:

3. Baza sistemului de vectori.

Definiție. Un sistem de vectori este înțeles ca mai mulți vectori aparținând aceluiași spațiu R.

Cometariu. Dacă sistemul constă dintr-un număr finit de vectori, atunci aceștia sunt notați cu aceeași literă cu indici diferiți.

Exemplu.

Definiție. Orice vector de forma = se numește combinație liniară de vectori. Numerele sunt coeficienții combinației liniare.

Exemplu. .

Definiție. Dacă vectorul este o combinație liniară de vectori , atunci spunem că vectorul este exprimat liniar în termeni de vectori .

Definiție. Sistemul de vectori se numește liniar independent, dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu poate fi ca o combinație liniară a restului vectorilor. În caz contrar, sistemul se numește dependent liniar.

Exemplu. Sistem vectorial dependent liniar, deoarece vectorul .

Definiția de bază. Un sistem de vectori formează o bază dacă:

1) este liniar independent,

2) orice vector de spațiu prin el este exprimat liniar.

Exemplul 1 Baza spatiala: .

2. În sistemul de vectori vectorii stau la baza: , deoarece exprimată liniar în termeni de vectori .

Cometariu. Pentru a găsi baza unui sistem dat de vectori, trebuie să:

1) scrieți coordonatele vectorilor din matrice,

2) folosind transformări elementare, aduceți matricea într-o formă triunghiulară,

3) rândurile diferite de zero ale matricei vor fi baza sistemului,

4) numărul de vectori din bază este egal cu rangul matricei.

DEFINIȚIE

Vector(din lat. " vector"-" rulment") - un segment direcționat al unei linii drepte în spațiu sau pe un plan.

Grafic, un vector este reprezentat ca un segment de linie dreaptă direcționată de o anumită lungime. Vectorul al cărui început este în punct și sfârșit în punct este notat ca (Fig. 1). De asemenea, un vector poate fi notat cu o singură literă mică, de exemplu, .

Dacă un sistem de coordonate este dat în spațiu, atunci vectorul poate fi specificat în mod unic printr-un set de coordonate ale acestuia. Adică, un vector este înțeles ca un obiect care are o valoare (lungime), direcție și punct de aplicare (începutul vectorului).

Începuturile calculului vectorial au apărut în lucrările din 1831 în lucrările matematicianului, mecanicului, fizicianului, astronomului și topografului german Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Lucrări despre operații cu vectori au fost publicate de matematicianul, mecanicul și fizicianul teoretician irlandez, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) ca parte a calculului său cuaternion. Omul de știință a propus termenul de „vector” și a descris câteva operații asupra vectorilor. Calculul vectorial a fost dezvoltat în continuare datorită lucrării asupra electromagnetismului a fizicianului, matematicianului și mecanicului britanic James Clerk Maxwell (1831-1879). În anii 1880 a fost publicată cartea „Elementele de analiză vectorială” a fizicianului, fizicochimistul, matematicianul și mecanicul american Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Analiza vectorială modernă a fost descrisă în 1903 de savantul, inginerul, matematicianul și fizicianul englez Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINIȚIE

Lungime sau modul vectorial este lungimea segmentului direcționat care definește vectorul. Desemnat ca .

Tipuri de bază de vectori

Vector zero se numește un vector al cărui punct de început și punct final sunt același. Lungimea vectorului nul este zero.

Se numesc vectori care sunt paraleli cu aceeași linie sau care se află pe aceeași linie coliniare(Fig. 2).

co-directional dacă direcţiile lor sunt aceleaşi.

În figura 2, aceștia sunt vectorii și . Co-direcția vectorilor se notează astfel: .

Se numesc doi vectori coliniari directii opuse dacă direcţiile lor sunt opuse.

În figura 3, aceștia sunt vectorii și . Denumire: .

Modul în care se adaugă vectorii nu este întotdeauna clar pentru elevi. Copiii habar nu au ce se află în spatele lor. Trebuie doar să memorezi regulile și să nu te gândești la esență. Prin urmare, tocmai despre principiile adunării și scăderii cantităților vectoriale sunt necesare multe cunoștințe.

Adăugarea a doi sau mai mulți vectori duce întotdeauna la altul. Mai mult, va fi mereu la fel, indiferent de recepția locației sale.

Cel mai adesea, într-un curs de geometrie școlară, se ia în considerare adăugarea a doi vectori. Poate fi efectuată după regula unui triunghi sau a unui paralelogram. Aceste desene arată diferit, dar rezultatul acțiunii este același.

Cum se face adunarea după regula unui triunghi?

Este folosit când vectorii sunt necoliniari. Adică nu se află pe aceeași linie sau paralel.

În acest caz, primul vector trebuie amânat dintr-un punct arbitrar. De la capătul său este necesar să se tragă paralel și egal cu al doilea. Rezultatul va fi un vector care începe de la începutul primului și se termină la sfârșitul celui de-al doilea. Desenul arată ca un triunghi. De aici și numele regulii.

Dacă vectorii sunt coliniari, atunci se poate aplica și această regulă. Doar desenul va fi amplasat de-a lungul unei linii.

Cum se realizează adăugarea paralelogramelor?

Încă o dată? se aplică numai vectorilor necoliniari. Construcția se realizează după un principiu diferit. Deși începutul este același. Trebuie să amânăm primul vector. Și de la începutul său - al doilea. Pe baza acestora, completați paralelogramul și trasați o diagonală de la începutul ambilor vectori. Ea va fi rezultatul. Așa se adaugă vectorii conform regulii paralelogramului.

Până acum au fost două. Dar dacă sunt 3 sau 10? Utilizați următorul truc.

Cum și când se aplică regula poligonului?

Dacă trebuie să efectuați adăugarea de vectori, al căror număr este mai mare de doi, nu ar trebui să vă fie teamă. Este suficient să le puneți pe toate deoparte și să conectați începutul lanțului de sfârșitul său. Acest vector va fi suma dorită.

Ce proprietăți sunt valabile pentru operațiile pe vectori?

Despre vectorul zero. Care susține că atunci când se adaugă la acesta, se obține cel original.

Despre vectorul opus. Adică despre unul care are direcția opusă și valoare egală în valoare absolută. Suma lor va fi zero.

Despre comutativitatea adunării. Ce s-a cunoscut de atunci scoala elementara. Schimbarea locurilor termenilor nu schimbă rezultatul. Cu alte cuvinte, nu contează ce vector să amâne primul. Răspunsul va fi în continuare corect și unic.

Despre asociativitatea adunării. Această lege vă permite să adăugați în perechi orice vector dintr-un triplu și să adăugați o treime la ei. Dacă scriem asta folosind simboluri, obținem următoarele:

primul + (al doilea + al treilea) = al doilea + (primul + al treilea) = al treilea + (primul + al doilea).

Ce se știe despre diferența de vectori?

Nu există o operație separată de scădere. Acest lucru se datorează faptului că este, de fapt, un plus. Numai celui de-al doilea dintre ei i se dă direcția opusă. Și apoi totul se face ca și cum s-ar lua în considerare adăugarea vectorilor. Prin urmare, practic nu vorbesc despre diferența lor.

Pentru a simplifica lucrul cu scăderea lor, regula triunghiului a fost modificată. Acum (la scadere) al doilea vector trebuie amanat de la inceputul primului. Răspunsul va fi cel care leagă punctul final al minuendului cu acesta. Deși este posibil să amânați așa cum este descris mai devreme, pur și simplu schimbând direcția celui de-al doilea.

Cum să găsiți suma și diferența vectorilor în coordonate?

În problemă sunt date coordonatele vectorilor și se cere să se afle valorile acestora pentru cel final. În acest caz, construcțiile nu trebuie executate. Adică, puteți folosi formule simple care descriu regula pentru adăugarea vectorilor. Arata asa:

a(x, y, z) + b(k, l, m) = c(x+k, y+l, z+m);

a (x, y, z) -in (k, l, m) \u003d c (x-k, y-l, z-m).

Este ușor de observat că coordonatele trebuie doar să fie adăugate sau scăzute, în funcție de sarcina specifică.

Primul exemplu cu soluție

Condiție. Dat un dreptunghi ABCD. Laturile sale sunt de 6 și 8 cm.Punctul de intersecție al diagonalelor este marcat cu litera O. Este necesar să se calculeze diferența dintre vectorii AO și VO.

Soluţie. Mai întâi trebuie să desenați acești vectori. Ele sunt direcționate de la vârfurile dreptunghiului către punctul de intersecție al diagonalelor.

Dacă te uiți cu atenție la desen, poți vedea că vectorii sunt deja aliniați, astfel încât al doilea dintre ei să fie în contact cu sfârșitul primului. Doar că direcția lui este greșită. Trebuie să înceapă din acest punct. Aceasta este dacă vectorii sunt adăugați, iar în problemă - scădere. Stop. Această acțiune înseamnă că trebuie să adăugați vectorul opus. Deci, VO trebuie înlocuit cu OB. Și se dovedește că doi vectori au format deja o pereche de laturi din regula triunghiului. Prin urmare, rezultatul adunării lor, adică diferența dorită, este vectorul AB.

Și coincide cu latura dreptunghiului. Pentru a înregistra un răspuns numeric, veți avea nevoie de următoarele. Desenați un dreptunghi pe lungime, astfel încât cea mai lungă latură să fie orizontală. Numerotarea vârfurilor începe din stânga jos și merge în sens invers acelor de ceasornic. Atunci lungimea vectorului AB va fi egală cu 8 cm.

Răspuns. Diferența dintre AO și VO este de 8 cm.

Al doilea exemplu și soluția sa detaliată

Condiție. Rombul ABCD are diagonalele de 12 si 16 cm Punctul de intersectie a acestora este marcat cu litera O. Calculati lungimea vectorului format din diferenta dintre vectorii AO si BO.

Soluţie. Fie ca desemnarea vârfurilor rombului să fie aceeași ca în problema anterioară. Similar cu soluția din primul exemplu, se dovedește că diferența dorită este egală cu vectorul AB. Și lungimea lui este necunoscută. Rezolvarea problemei s-a redus la calcularea uneia dintre laturile rombului.

În acest scop, trebuie să luați în considerare triunghiul ABO. Este dreptunghiulară deoarece diagonalele rombului se intersectează la un unghi de 90 de grade. Și picioarele sale sunt egale cu jumătate din diagonale. Adică 6 și 8 cm.Latura căutată în problemă coincide cu ipotenuza din acest triunghi.

Pentru a-l găsi, aveți nevoie de teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei va fi egal cu suma numerelor 6 2 și 8 2 . După pătrare, se obțin valorile: 36 și 64. Suma lor este 100. Rezultă că ipotenuza este de 10 cm.

Răspuns. Diferența dintre vectorii AO și VO este de 10 cm.

Al treilea exemplu cu soluție detaliată

Condiție. Calculați diferența și suma a doi vectori. Coordonatele lor sunt cunoscute: primul are 1 și 2, al doilea are 4 și 8.

Soluţie. Pentru a găsi suma, trebuie să adăugați prima și a doua coordonată în perechi. Rezultatul vor fi numerele 5 și 10. Răspunsul va fi un vector cu coordonate (5; 10).

Pentru diferență, trebuie să scazi coordonatele. După efectuarea acestei acțiuni se vor obține numerele -3 și -6. Acestea vor fi coordonatele vectorului dorit.

Răspuns. Suma vectorilor este (5; 10), diferența lor este (-3; -6).

Al patrulea exemplu

Condiție. Lungimea vectorului AB este de 6 cm, BC - 8 cm.Al doilea este pus deoparte de capătul primului la un unghi de 90 de grade. Calculaţi: a) diferenţa dintre modulele vectorilor BA şi BC şi modulul diferenţei dintre BA şi BC; b) suma acelorași module și modulul sumei.

Rezolvare: a) Lungimile vectorilor sunt deja date în problemă. Prin urmare, nu este dificil să calculăm diferența lor. 6 - 8 = -2. Situația cu modulul de diferență este ceva mai complicată. Mai întâi trebuie să aflați care vector va fi rezultatul scăderii. În acest scop, trebuie lăsat deoparte vectorul BA, care este îndreptat în direcția opusă AB. Apoi desenați vectorul BC de la capătul său, îndreptându-l în direcția opusă celei inițiale. Rezultatul scăderii este vectorul CA. Modulul său poate fi calculat folosind teorema lui Pitagora. Calculele simple duc la o valoare de 10 cm.

b) Suma modulelor vectorilor este de 14 cm.Pentru găsirea celui de-al doilea răspuns este necesară o anumită transformare. Vectorul BA este opus celui dat - AB. Ambii vectori sunt direcționați din același punct. În această situație, puteți folosi regula paralelogramului. Rezultatul adunării va fi o diagonală și nu doar un paralelogram, ci un dreptunghi. Diagonalele sale sunt egale, ceea ce înseamnă că modulul sumei este același ca în paragraful anterior.

Raspuns: a) -2 si 10 cm; b) 14 și 10 cm.

1. Adăugarea. Fie a și b doi vectori. Din punctul arbitrar O punem deoparte vectorul OA = a, iar din punctul rezultat A - vectorul AB = b. Vectorul OB se numește sumăA+ bvectorii a și b (Fig. 6), iar operația de găsire a sumei vectorilor este adunarea acestora.

Să verificăm dacă adăugarea vectorilor este definită corect, adică. suma vectorilor nu depinde de alegerea punctului O. Pentru aceasta, luați orice alt punct Q și lăsați deoparte vectorii QC = a și CD = b. Deoarece QC = OA = a, prin criteriul egalității a doi vectori (1.8) obținem că OQ = AC. În mod similar, din egalitatea AB = CD = b rezultă că AC = BD. În consecință, OQ = BD și, aplicând din nou criteriul (1.8), obținem OB = QD, ceea ce trebuia demonstrat (Fig. 7).

Regula triunghiului rezultă direct din definiția sumei a doi vectori:

(2.1) pentru oricare trei puncte O, A și B OA + AB = OB.

În plus, după cum se știe din cursul de geometrie școlară, pentru oricare trei puncte O, A și B, lungimea segmentului OB nu depășește suma lungimilor segmentelor OA și AB, iar egalitatea |OB| = |OA| + |AB| este atins numai când punctul A se află pe segmentul [OB]. Această inegalitate este adesea numită inegalitatea triunghiulară. Definiția sumei vectorilor vă permite să o scrieți în formă vectorială:

(2.2) |а + b| |a| + |b| .

Egalitatea în (2.2) se realizează dacă și numai dacă vectorii a și b sunt în aceeași direcție, iar în alte cazuri inegalitatea este strictă. Notează egalitatea |a+b| = |a|+|b| pentru vectori arbitrari - o eroare grosolană.

2. Proprietățile de bază ale adunării vectoriale. Acestea includ:

(C1) Pentru oricare trei vectori a, b și c (a+b)+c = a+(b+c) (asociativitate).

(С2) Pentru oricare doi vectori a și b a+b = b+a (comutativitate).

(С3) Pentru orice vector a a+0 = a.

(C4) Pentru oricare două puncte A și B AB + BA = 0.

ÎN



Să demonstrăm proprietatea (С1). Pentru a face acest lucru, amânăm secvenţial vectorii OA = a, AB = b şi BC = c. După definiția adunării vectoriale, (a + b) + c = OB + BC și a + (b + c) = OA + AC. Dar OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (Fig. 9).

Rețineți că în Fig. 8OC = AB. Prin urmare, este corect

(2.3) Regula paralelogramului: Suma vectorilor necoliniari a și b este egală cu diagonala OB a paralelogramului OABS construit pe vectori 2 OA = a și OS = b.

În plus, din dovada de asociativitate de mai sus, obținem

(2.4) Regula poligonului. Pentru a adăuga mai mulți vectori, luați într-o anumită ordine, trebuie să-i puneți deoparte unul după altul, astfel încât sfârșitul fiecărui vector să servească drept începutul următorului și apoi să conectați începutul primului cu sfârșitul ultimului.

Am demonstrat această regulă doar pentru cazul a trei vectori, dar raționamentul de mai sus poate fi ușor extins la orice număr de termeni.

P

(2.5) Regula lanțului închis. Suma mai multor vectori este egală cu zero dacă și numai dacă, atunci când sunt amânați succesiv, aceștia formează un lanț închis, adică. sfârşitul acestuia din urmă coincide cu începutul primei.

(2.6) Exercițiu. Demonstrați regula paralelipipedului: pentru a adăuga trei vectori care nu sunt paraleli cu același plan, trebuie să îi lăsați deoparte dintr-un punct O, să completați cele trei segmente rezultate la un paralelipiped și să desenați o diagonală a acestui paralelipiped din punctul O, care va fi suma dorită (Fig. 10).

Asociativitatea adunării vectoriale arată că suma a trei vectori, luată într-o anumită ordine, nu depinde dacă adunăm mai întâi primii doi vectori, apoi adăugăm pe al treilea la ei sau găsim mai întâi suma celui de-al doilea și al treilea. vectori, apoi adăugați-l la primul . Aceasta înseamnă că putem scrie suma a trei vectori ca a + b + c fără a ne gândi cum să plasăm paranteze în ea. În cursul algebrei, se va demonstra că, dacă această proprietate este valabilă pentru trei termeni, atunci este valabilă pentru orice număr dintre ei, adică putem scrie orice sumă vectorială a + b + c + ... + fără să ne facem griji. despre modul în care sunt amplasate parantezele d. Iar proprietatea comutativității (C2) arată că, fără a modifica această sumă, putem rearanja în mod arbitrar termenii din ea. Acesta este sensul asociativității și comutativității.

3

Să lăsăm deoparte vectorii OA=a și OB=b dintr-un punct arbitrar O. Evident, singurul vector care, împreună cu OB, dă OA este vectorul BA. Prin urmare,

(2.7) oricare doi vectori au o diferență și numai unul. Pentru a-l construi, trebuie să amânați vectorii dintr-un punct și să conectați sfârșitul celui de-al doilea cu sfârșitul primului (Fig. 11).

Z

a–b = a+(–b).

Cu alte cuvinte, scăderea unui vector dintr-un altul este ca și cum ați adăuga primul vector la vectorul opus celui de-al doilea.

Fie vectorii a și b necoliniari. Atunci punctele O, A și B formează un triunghi. Dacă îl completăm până la paralelogramul OASV, atunci diagonala din el
va reprezenta suma a + b, iar diagonala
- diferenţa a-b (Fig. 12). Aceasta este o completare utilă la regula paralelogramului.

Egalitatea (2.8) ar putea fi demonstrată și pur algebric. Într-adevăr, dacă x = a+(–b), atunci x+b = a+(–b)+b = a+0 = A. Se poate arăta și algebric că diferența a–b nu are alte valori: x+b = A (x+b)+(–b) = a+(–b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(–b) x = a+(–b). Am notat în mod deliberat toate aceste transformări în detaliu pentru a arăta că toate se bazează numai pe proprietățile de bază ale adunării (C1)-(C4) (verificați!). În teoria generală a spațiilor vectoriale, despre care veți afla în cursul dumneavoastră de algebră, aceste proprietăți sunt luate ca axiome ale adunării vectoriale și toate celelalte proprietăți ale adunării sunt derivate din ele.

4. Înmulțirea unui vector cu un număr. Înmulțirea unui vector cu un număr este operația de a găsi produsul unui vector cu un număr. Produsul dintre un vector diferit de zero a și un număr x este un vector notat cu „xa” și îndeplinește următoarele două condiții:

(P1) | ha | = |x||a| ; (P2) ha iar dacă x 0 și ha iar dacă x<0.

Produsul unui vector zero cu orice număr este, prin definiție, egal cu 0.

Condiția (A1) rămâne valabilă pentruX= 0, dar condiția (A2) în acest caz este încălcată la x<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Rețineți că xa = 0 |ha| = 0  |x||a| = 0  |x| = 0 sau |a| = 0  X = 0 sau a = 0. Deci,

(2.9) Produsul dintre un vector și un număr este egal cu zero dacă și numai dacă fie numărul, fie vectorul sunt egali cu zero.

Fie dat un număr diferit de zero x și un vector a. Din punctul arbitrar O, punem deoparte vectorul OA = a și încercăm să construim un vectorBOU= ha. Deoarece vectorii a și xa trebuie să fie coliniari, segmentul
trebuie să se afle pe linie (OA), iar lungimea acesteia, conform condiției (A1), trebuie să fie egală cu |x||a|. Există exact două astfel de segmente și unul dintre ele (să-l numim
) este co-regizat cu
, iar celălalt (să-i spunem
) este îndreptată invers
(Fig. 13). Revenind la condiția (P2), vedem că
=
pentru x > 0 și
=
la x< 0.

T

Principalele proprietăți ale înmulțirii vectorilor cu numere includ următoarele:

(Y1) Pentru orice vector a 1a=a (adică, înmulțirea cu 1 nu schimbă vectorul).

(Y2) Pentru orice numere x, y și vector a x(ya) = (xy)a (asociativitate).

(Y3) Pentru orice numere x, y și vector a (x + y) a = xa + ya (distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea numerelor).

(Y4) Pentru orice număr x și vectori a și b x(a + b) = xa + xb (distributivitatea înmulțirii în raport cu adăugarea vectorilor).

Prima dintre aceste proprietăți decurge direct din definiție (verificați!). Dovezile restului se găsesc la paginile 14-16 din L.S. Atanasyan și V.T. Bazylev „Geometrie” (partea 1).

De asemenea, notăm următoarele proprietăți de înmulțire a unui vector cu un număr:

(2.10) Dacă vectorul a este diferit de zero, atunci a/|a| este vectorul unitar codirecțional cu vectorul a. 3

 Într-adevăr, vectorii a și a/|a| sunt codirecționale (pentru că 1/|a| > 0) și |a/|a|| = |a|/|a| = 1.

(2.11) (–1)а = –а.

 Într-adevăr, prin definiția înmulțirii unui vector cu un număr, vectorii (–1)a și a sunt direcționați opus, iar lungimile lor sunt egale.

5. Semne de coliniaritate.

(2.12) Un criteriu pentru ca un vector să fie coliniar cu un vector diferit de zero. Vectorul b este coliniar cu vectorul diferit de zero a dacă și numai dacă există un astfel de numărt, că b =tA. Mai mult, dacă vectorii a și b sunt codirecționali, atunci t = |b| / |a|, iar dacă sunt direcționate invers, atunci t = – |b| / |a|.

 Am observat deja că vectorii a și ta sunt întotdeauna coliniari. În schimb, luăm un vector diferit de zero a și un vector coliniar b. Dacă sunt codirecționale, atunci punem t = |b|/|a|. Apoi |ta| = |t||а| = (|b|/|a|)|a| = |b|, iar vectorul ta este codirecționat cu a și, prin urmare, cu b. Prin urmare, ta = b conform caracteristicii 1.7. În cazul în care o b, punem t = –|b|/|a|. Și din nou |ta| = |t||а| = (|b|/|a|)|a| = |b|, în timp ce vectorii ta și b, direcționați opus vectorului a, sunt codirecționali conform (Н5). Prin urmare, în acest caz, ta = b.

Avertismentul că vectorul a este diferit de zero este uneori incomod. Atunci poți folosi asta

(2.13) Semnul coliniarității a doi vectori. Doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă unul dintre ei poate fi exprimat în termenii celuilalt prin înmulțire cu un număr.

 Pentru cazul în care cel puțin unul dintre cei doi vectori dați nu este egal cu zero, acest lucru a fost demonstrat mai sus. Dacă ambii vectori sunt zero, atunci, în primul rând, sunt coliniari și, în al doilea rând, oricare dintre ei poate fi obținut de la celălalt prin înmulțirea cu orice număr, deci în acest caz totul este în ordine.

6. Pastrarea paralelismului in operatii pe vectori.

(2.14) Lema asupra paralelismului. Dacă doi vectori sunt paraleli cu o dreaptă (plan), atunci aceeași linie (plan) este paralelă cu suma lor. Dacă un vector este paralel cu o dreaptă (plan), atunci aceeași linie (plan) este paralelă cu produsul său cu orice număr.

 Fie vectorii a și b paraleli cu dreapta (planul) dată. Să lăsăm deoparte din punctul său arbitrar O vectorii OA = a și AB = b. Atunci punctele A și B se vor afla și ele pe această dreaptă (plan). Aceasta înseamnă că și segmentul OB se va afla acolo, reprezentând suma a + b, ceea ce înseamnă că este paralel cu această dreaptă (plan).

Să luăm acum orice număr x și să lăsăm deoparte vectorul OS = xa din același punct O. Dacă a \u003d 0, atunci xa \u003d 0, iar vectorul zero este paralel cu orice linie și plan. Dacă nu, atunci segmentul OS, reprezentând vectorul xa, se va afla în întregime pe linia dreaptă OA și, prin urmare, pe linia dreaptă dată (planul). Astfel, vectorul xa va fi paralel cu această dreaptă (plan).

Un vector este un segment direcționat al unei linii drepte în spațiul euclidian, în care un capăt (punctul A) se numește începutul vectorului, iar celălalt capăt (punctul B) se numește capătul vectorului (Fig. 1) . Vectorii sunt notați:

Dacă începutul și sfârșitul vectorului sunt aceleași, atunci vectorul este numit vector zeroși notat 0 .

Exemplu. Fie ca începutul vectorului în spațiul bidimensional să aibă coordonate A(12,6) , iar capătul vectorului este coordonatele B(12.6). Atunci vectorul este un vector nul.

Lungimea tăiată AB numit modul (lung, norma) vector și se notează cu | A|. Se numeste un vector de lungime egala cu unu vector unitar. Pe lângă modul, un vector este caracterizat de o direcție: un vector are o direcție de la A La B. Un vector se numește vector, opus vector .

Cei doi vectori sunt numiți coliniare dacă se află pe aceeaşi linie sau pe drepte paralele. În fig. 3 vectori roșii sunt coliniari din moment ce se află pe aceeași linie dreaptă, iar vectorii albaștri sunt coliniari, deoarece se află pe linii paralele. Se numesc doi vectori coliniari în egală măsură dirijat dacă capetele lor se află pe aceeași parte a liniei care le unește începuturile. Se numesc doi vectori coliniari directii opuse dacă capetele lor se află pe laturile opuse ale liniei care le unește începuturile. Dacă doi vectori coliniari se află pe aceeași linie, atunci aceștia se numesc dirijați în mod egal dacă una dintre razele formate de un vector conține complet raza formată de celălalt vector. În caz contrar, vectorii sunt numiți direcționați opus. În figura 3, vectorii albaștri sunt în aceeași direcție, iar vectorii roșii sunt în direcția opusă.

Cei doi vectori sunt numiți egal dacă au module egale şi sunt la fel de direcţionate. În Fig.2, vectorii sunt egali deoarece modulele lor sunt egale și au aceeași direcție.

Vectorii sunt numiți coplanare dacă se află pe același plan sau în planuri paralele.

ÎN nÎntr-un spațiu vectorial dimensional, luați în considerare mulțimea tuturor vectorilor al căror punct de plecare coincide cu originea. Atunci vectorul poate fi scris sub următoarea formă:

Unde x 1 , x 2 , ..., x n coordonatele punctului final vectorial X.

Se numeste vectorul scris sub forma (1). vector rând, iar vectorul scris ca

numit vector coloană.

Număr n numit dimensiune (în ordine) vector. Dacă atunci vectorul este numit vector zero(deoarece punctul de plecare al vectorului ). Doi vectori XȘi y sunt egale dacă și numai dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale.