Acasă→Copaci și arbuști→ Exemple complete de soluții diferențiale. Ecuații în diferențiale totale. Exemple de soluții. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemple complete de soluții diferențiale. Ecuații în diferențiale totale. Exemple de soluții. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Definiție 8.4. Ecuația diferențială a formei

Unde
se numește ecuație diferențială totală.

Rețineți că partea stângă a unei astfel de ecuații este diferența totală a unei anumite funcții
.

În cazul general, ecuația (8.4) poate fi reprezentată ca

În loc de ecuația (8.5), se poate lua în considerare ecuația

a cărei soluție este integrala generală a ecuației (8.4). Astfel, pentru a rezolva ecuația (8.4) este necesar să găsim funcția
. În conformitate cu definiția ecuației (8.4), avem

(8.6)

Funcţie
vom căuta, ca funcție care îndeplinește una dintre aceste condiții (8.6):

Unde este o funcție arbitrară independentă de .

Funcţie
este definită astfel încât a doua condiție a expresiei (8.6) să fie îndeplinită

(8.7)

Din expresia (8.7) se determină funcția
. Înlocuindu-l în expresia pentru
și obțineți integrala generală a ecuației inițiale.

Problema 8.3. Integrarea ecuației

Aici
.

Prin urmare, această ecuație aparține tipului de ecuații diferențiale în diferențiale totale. Funcţie
vom cauta in formular

Pe de alta parte,

În unele cazuri, starea
poate să nu fie efectuată.

Apoi astfel de ecuații sunt reduse la tipul luat în considerare prin înmulțirea cu așa-numitul factor de integrare, care, în cazul general, este o funcție doar de sau .

Dacă o ecuație are un factor de integrare care depinde numai de , atunci este determinat de formula

unde este raportul ar trebui să fie doar o funcție .

În mod similar, un factor integrator depinde doar de , este determinat de formula

unde este raportul
ar trebui să fie doar o funcție .

Absența în rapoartele de mai sus, în primul caz, a variabilei , iar în al doilea - o variabilă , sunt un semn al existenței unui factor integrator pentru o ecuație dată.

Problema 8.4. Aduceți această ecuație la o ecuație în diferențiale totale.

Luați în considerare relația:

Subiectul 8.2. Ecuații diferențiale liniare

Definiție 8.5. Ecuație diferențială
se numeste liniar daca este liniar fata de functia dorita , derivatul său și nu conține produsul funcției dorite și derivata acesteia.

Forma generală a unei ecuații diferențiale liniare este reprezentată de următoarea relație:

(8.8)

Dacă în relaţia (8.8) partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește omogenă liniară. În cazul în care partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește liniară neomogenă.

Să arătăm că ecuația (8.8) este integrabilă în cuadraturi.

În prima etapă, considerăm o ecuație liniară omogenă.

O astfel de ecuație este o ecuație cu variabile separabile. Într-adevăr,

;

Ultima relație determină soluția generală a ecuației liniare omogene.

Pentru a găsi o soluție generală a unei ecuații liniare neomogene, se utilizează metoda de variație a derivatei unei constante. Ideea metodei este că soluția generală a unei ecuații liniare neomogene în aceeași formă ca soluția ecuației omogene corespunzătoare, totuși, o constantă arbitrară înlocuit cu o anumită funcție
a fi determinat. Deci avem:

(8.9)

Substituind în relația (8.8) expresiile corespunzătoare
Și
, primim

Înlocuind ultima expresie în relația (8.9), se obține integrala generală a unei ecuații liniare neomogene.

Astfel, soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este determinată de două pătraturi: soluția generală a unei ecuații liniare omogene și o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene.

Problema 8.5. Integrarea ecuației

Astfel, ecuația originală aparține tipului de ecuații diferențiale liniare neomogene.

În prima etapă, găsim soluția generală a ecuației liniare omogene.

;

În a doua etapă, determinăm soluția generală a ecuației liniare neomogene, care se caută sub forma

Unde
este funcția care trebuie definită.

Deci avem:

Înlocuirea rapoartelor pentru Și în ecuația liniară neomogenă inițială obținem:

;

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene va arăta astfel:

Având forma standard $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, în care partea stângă este diferența totală a unei funcții $F \left(x,y\right)$ se numește ecuație în diferențiale totale.

Ecuația diferențială totală poate fi întotdeauna rescrisă ca $dF\left(x,y\right)=0$, unde $F\left(x,y\right)$ este o funcție astfel încât $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integram ambele laturi ale ecuatiei $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrala laturii din dreapta zero este egală cu o constantă arbitrară $C$. Astfel, soluția generală a acestei ecuații în formă implicită are forma $F\left(x,y\right)=C$.

Pentru ca o ecuație diferențială dată să fie o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca condiția $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ să fie îndeplinită . Dacă această condiție este îndeplinită, atunci există o funcție $F\left(x,y\right)$ pentru care putem scrie: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, de unde obținem două relații: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ și $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

Integram prima relatie $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ peste $x$ si obtinem $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, unde $U\left(y\right)$ este o funcție arbitrară a lui $y$.

Să o alegem astfel încât a doua relație $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ să fie satisfăcută. Pentru a face acest lucru, diferențiam relația rezultată pentru $F\left(x,y\right)$ față de $y$ și echivalăm rezultatul cu $Q\left(x,y\right)$. Se obține: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\dreapta)$.

Următoarea soluție este:

din ultima egalitate găsim $U"\left(y\right)$;
integrați $U"\left(y\right)$ și găsiți $U\left(y\right)$;
înlocuiți $U\left(y\right)$ în $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ și în cele din urmă obținem funcția $F\left(x,y\right)$.

Găsim diferența:

Integram $U"\left(y\right)$ peste $y$ si gasim $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Găsiți rezultatul: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Scriem soluția generală ca $F\left(x,y\right)=C$, și anume:

Găsiți o anumită soluție $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, unde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

O anumită soluție are forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

În acest subiect, vom lua în considerare o metodă de restabilire a unei funcții din diferența sa totală, dăm exemple de probleme cu o analiză completă a soluției.

Se întâmplă că ecuațiile diferențiale (DE) de forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 pot conține diferențiale totale ale unor funcții în părțile din stânga. Atunci putem găsi integrala generală a DE dacă mai întâi restabilim funcția din diferenţialul ei total.

Exemplul 1

Se consideră ecuația P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . Înregistrarea părții sale stângi conține diferența unei anumite funcții U(x, y) = 0. Pentru aceasta, trebuie îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Diferenţialul total al funcţiei U (x , y) = 0 are forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Ținând cont de condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, obținem:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformând prima ecuație din sistemul de ecuații rezultat, putem obține:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Putem găsi funcția φ (y) din a doua ecuație a sistemului obținut anterior:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Deci am găsit funcția dorită U (x, y) = 0.

Exemplul 2

Găsiți pentru DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 soluția generală.

Soluţie

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Condiția noastră este îndeplinită.

Pe baza calculelor, putem concluziona că partea stângă a DE original este diferența totală a unei funcții U (x , y) = 0 . Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y este diferența totală a funcției U (x, y) = 0, atunci

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integram prima ecuatie a sistemului in raport cu x:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Acum diferențiam rezultatul față de y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Transformând a doua ecuație a sistemului, obținem: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Înseamnă că
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

unde C este o constantă arbitrară.

Obținem: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Integrala generală a ecuației inițiale este x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Să analizăm o altă metodă pentru găsirea unei funcții dintr-o diferență totală cunoscută. Implica aplicarea unei integrale curbilinie de la un punct fix (x 0, y 0) la un punct cu coordonate variabile (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

În astfel de cazuri, valoarea integralei nu depinde în niciun fel de calea integrării. Putem lua o linie întreruptă ca cale de integrare, ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplul 3

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Rezultă că partea stângă a ecuației diferențiale este reprezentată de diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Pentru a găsi această funcție, este necesar să se calculeze integrala curbilinie din punct (1 ; 1) inainte de (X y). Să luăm ca cale de integrare o linie întreruptă, ale cărei secțiuni vor trece de-a lungul unei linii drepte y=1 de la punctul (1, 1) la (x, 1) și apoi de la punctul (x, 1) la (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Am obţinut soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de forma x y - x y 2 + C = 0 .

Exemplul 4

Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Deoarece ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , condiția nu va fi îndeplinită. Aceasta înseamnă că partea stângă a ecuației diferențiale nu este diferența totală a funcției. Aceasta este o ecuație diferențială separabilă și alte soluții sunt potrivite pentru a o rezolva.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Diferenţial se numește ecuație de formă

P(X y)dx + Q(X y)dy = 0 ,

unde partea stângă este diferența totală a unei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (este ceea ce trebuie să găsim atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin Fși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care trebuie să acordați atenție este că trebuie să existe zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.

În al doilea rând, trebuie să se respecte o oarecare egalitate, ceea ce este o confirmare că ecuația diferențială dată este o ecuație în diferențiale complete. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de consumator de timp și este important în stadiul inițial să ne asigurăm că nu pierdem timpul în zadar.

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu F. Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație în diferențe totale, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

dF = P(X y)dx + Q(X y)dy .

Reamintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

Prima egalitate este diferențiabilă în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”:

care este condiția ca ecuația diferențială dată să fie într-adevăr o ecuație în diferențiale totale.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație în diferențe totale. Pentru expresia a fost diferenţialul total al unei anumite funcţii F(X y) , este necesar şi suficient ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luăm derivata parțială cu privire la X iar derivata parțială în raport cu y un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Scrieți sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integrați prima ecuație a sistemului - peste X (y F:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, funcția este de asemenea restabilită F:

,
de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ, de către X) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

și, alternativ, la prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată, determinăm (într-o versiune alternativă)

Pasul 5 Rezultatul pasului 4 este integrat și găsit (alternativ găsiți).

Pasul 6Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scris mai des după semnul egal - în partea dreaptă a ecuației. Astfel, obținem soluția generală a ecuației diferențiale în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma F(X y) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1

Pasul 1. ecuație în diferențiale totale X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 F:

Pasul 3 De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 y

Pasul 5

Pasul 6 F. O constantă arbitrară C :
.

Care este cea mai probabilă eroare aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați integrala parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a produsului de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integral, iar când se calculează o derivată parțială față de una dintre variabile, cealaltă este, de asemenea, o constantă și derivata expresiei se găsește ca o derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu o constantă.

Printre ecuații în diferențiale totale nu neobișnuit - exemple cu un exponent. Acesta este următorul exemplu. De asemenea, se remarcă prin faptul că în soluția sa este utilizată o opțiune alternativă.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram a doua ecuatie a sistemului - peste y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scrie după semnul egal. Așa obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor, ne întoarcem de la alternativă la cea principală.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 4 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 5 Rezolvați ecuația diferențială

Se poate întâmpla ca partea stângă a ecuației diferențiale

este diferența totală a unei funcții:

și deci ecuația (7) ia forma .

Dacă funcția este o soluție a ecuației (7), atunci , și, prin urmare,

unde este o constantă și invers, dacă o funcție transformă ecuația finală (8) într-o identitate, atunci, diferențiind identitatea rezultată, obținem , și, prin urmare, , unde este o constantă arbitrară, este o integrală generală a originalului ecuaţie.

Dacă sunt date valorile inițiale, atunci constanta este determinată din (8) și

este integrala parțială dorită. Dacă în punctul , atunci ecuația (9) definește ca o funcție implicită a lui .

Pentru ca partea stângă a ecuației (7) să fie diferența totală a unei funcții, este necesar și suficient ca

Dacă această condiție, indicată de Euler, este îndeplinită, atunci ecuația (7) este ușor de integrat. Într-adevăr, . Pe de altă parte, . Prin urmare,

Când se calculează integrala, valoarea este considerată o constantă, prin urmare este o funcție arbitrară a . Pentru a determina funcția, diferențiem funcția găsită față de și, din moment ce , obținem

Din această ecuație, determinăm și, integrând, găsim .

După cum se știe din cursul analizei matematice, este chiar mai ușor să definiți o funcție prin diferența sa totală, luând integrala curbilinie dintre un punct fix și un punct cu coordonate variabile de-a lungul oricărei căi:

Cel mai adesea, ca cale de integrare, este convenabil să se ia o linie întreruptă compusă din două legături paralele cu axele de coordonate; în acest caz,

Exemplu. .

Partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții, deoarece

Prin urmare, integrala generală are forma

Puteți utiliza o altă metodă pentru definirea unei funcții:

Pentru punctul de plecare, alegem, de exemplu, originea coordonatelor, ca cale de integrare - o linie întreruptă. Apoi

iar integrala generală are forma

Ceea ce coincide cu rezultatul anterior, conducând la un numitor comun.

În unele cazuri, când partea stângă a ecuației (7) nu este o diferență totală, este ușor să găsiți o funcție , după înmulțirea prin care partea stângă a ecuației (7) se transformă într-o diferență totală . O astfel de funcție este numită factor integrator. Rețineți că înmulțirea cu un factor de integrare poate duce la apariția unor soluții suplimentare speciale care transformă acest factor la zero.

Exemplu. .

Evident, după înmulțirea cu un factor, partea stângă se transformă într-un diferențial total. Într-adevăr, după înmulțirea cu obținem

sau, prin integrare, . Inmultind cu 2 si potentand, vom avea .

Desigur, factorul de integrare nu este întotdeauna ales atât de ușor. În cazul general, pentru a găsi factorul de integrare, este necesar să alegeți cel puțin o soluție particulară a ecuației în derivate parțiale care nu este identic zero, sau în formă extinsă

care, după împărțirea și transferarea unor termeni în cealaltă parte a egalității, se reduce la formă

În cazul general, integrarea acestei ecuații diferențiale parțiale nu este în niciun caz o sarcină mai simplă decât integrarea ecuației inițiale, dar în unele cazuri selectarea unei anumite soluții la ecuația (11) nu este dificilă.

În plus, presupunând că factorul de integrare este o funcție a unui singur argument (de exemplu, este o funcție a numai sau numai , sau o funcție a numai , sau numai etc.), putem integra cu ușurință ecuația (11) și indicați condițiile în care există un factor integrator al formei luate în considerare. Astfel, sunt evidențiate clase de ecuații pentru care factorul de integrare poate fi găsit cu ușurință.

De exemplu, să găsim condițiile în care ecuația are un factor de integrare care depinde doar de , i.e. . În acest caz, ecuația (11) este simplificată și ia forma , de unde, presupunând că este o funcție continuă a lui , obținem

Dacă este o funcție numai a lui , atunci factorul integrator care depinde numai de , există și este egal cu (12), în caz contrar factorul integrator al formei nu există.

Condiția existenței unui factor integrator care depinde numai de este îndeplinită, de exemplu, pt ecuație liniară sau . Într-adevăr, și, prin urmare, . În mod similar, pot fi găsite condiții pentru existența factorilor integratori ai formei etc.

Exemplu. Ecuația are un factor integrator de formă?

Să notăm. Ecuația (11) la ia forma , de unde sau

Pentru existența unui factor integrator de o formă dată este necesar și, sub ipoteza continuității, este suficient ca numai . În acest caz, deci, factorul de integrare există și este egal cu (13). Când primim. Înmulțind ecuația inițială cu , o aducem la forma

Integrând, obținem , iar după potențare vom avea , sau în coordonate polare - o familie de spirale logaritmice.

Exemplu. Găsiți forma unei oglinzi care reflectă paralel cu o direcție dată toate razele care ies dintr-un punct dat.

Plasăm originea coordonatelor într-un punct dat și direcționăm axa absciselor paralel cu direcția specificată în condițiile problemei. Lasă fasciculul să cadă pe oglindă în punctul . Considerăm o secțiune a oglinzii printr-un plan care trece prin axa absciselor și punctul . Să desenăm o tangentă la secțiunea considerată a suprafeței oglinzii în punctul . Deoarece unghiul de incidență al fasciculului este egal cu unghiul de reflexie, triunghiul este isoscel. Prin urmare,

Ecuația omogenă rezultată se integrează ușor printr-o schimbare a variabilelor , dar este și mai ușor, eliberat de iraționalitatea la numitor, să o rescrieți sub forma . Această ecuație are un factor de integrare evident , , , (o familie de parabole).

Această problemă este și mai ușor de rezolvat în coordonate și, unde , în timp ce ecuația pentru secțiunea suprafețelor dorite ia forma .

Este posibil să se dovedească existența unui factor integrator sau, ceea ce este același lucru, existența unei soluții nenule a ecuației cu diferență parțială (11) într-un anumit domeniu, dacă funcțiile și au derivate continue și cel puțin una dintre acestea. funcțiile nu dispare. Prin urmare, metoda factorului de integrare poate fi considerată o metodă generală de integrare a ecuațiilor de forma , cu toate acestea, din cauza dificultății de a găsi factorul de integrare, această metodă este cel mai des folosită în cazurile în care factorul de integrare este evident.