Calculați integrala definită folosind formula trapezoidală. Formula de cuadratura a trapezelor. Cum se calculează o integrală definită folosind metoda trapezului

Sarcini didactice și educaționale:

• scop didactic. Să introducă elevii în metodele de calcul aproximativ al unei integrale determinate.
• scop educativ. Tema acestei lecții are o mare valoare practică și educațională. Cea mai simplă abordare a ideii de integrare numerică se bazează pe definirea unei integrale definite ca limită a sumelor integrale. De exemplu, dacă luăm o partiție suficient de mică a segmentului [ A; b] și construiți o sumă integrală pentru aceasta, atunci valoarea acesteia poate fi luată aproximativ ca valoare a integralei corespunzătoare. În același timp, este important să efectuați rapid și corect calculele folosind tehnologia computerizată.

Cunoștințe și abilități de bază. Să înțeleagă metodele aproximative pentru calcularea unei integrale definite folosind formulele dreptunghiurilor și trapezelor.

Asigurarea lecției

• Înmânează. Fișe de activitate pentru munca independentă.
• OTS. Multiproiector, PC, laptopuri.
• Echipamente TCO. Prezentări: „Semnificația geometrică a derivatei”, „Metoda dreptunghiurilor”, „Metoda trapezelor”. (Prezentarea poate fi împrumutată de la autor).
• Instrumente de calcul: PC, microcalculatoare.
• Instrucțiuni

Tipul clasei. Practic integrat.

Motivarea activității cognitive a elevilor. Foarte des trebuie să se calculeze integrale definite pentru care este imposibil să se găsească o antiderivată. În acest caz, se folosesc metode aproximative pentru calcularea integralelor definite. Uneori metoda aproximativă este folosită și pentru „preluarea” integralelor, dacă calculul prin formula Newton-Leibniz nu este rațional. Ideea unui calcul aproximativ al integralei este că curba este înlocuită cu o nouă curbă care este suficient de „aproape” de ea. În funcție de alegerea unei noi curbe, poate fi utilizată una sau alta formulă de integrare aproximativă.

Secvența lecției.

1. Formula dreptunghiulară.
2. Formula trapezoidală.
3. Rezolvarea exercițiilor.

Planul lecției

1. Repetiţie cunostinte de baza elevi.

Repetați cu elevii: formulele de bază ale integrării, esența metodelor de integrare studiate, semnificația geometrică a unei integrale determinate.

1. Efectuarea lucrărilor practice.

Rezolvarea multor probleme tehnice se reduce la calculul anumitor integrale, a căror exprimare exactă este dificilă, necesită calcule lungi și nu este întotdeauna justificată în practică. Aici, valoarea lor aproximativă este destul de suficientă.

Să fie, de exemplu, necesar să se calculeze aria mărginită de o dreaptă a cărei ecuație este necunoscută. În acest caz, puteți înlocui această linie cu una mai simplă, a cărei ecuație este cunoscută. Aria trapezului curbiliniu astfel obținut este luată ca valoare aproximativă a integralei dorite.

Cea mai simplă metodă aproximativă este metoda dreptunghiurilor. Geometric, ideea din spatele modului de a calcula integrala definită folosind formula dreptunghiurilor este că aria unui trapez curbiliniu ABCD se înlocuiește cu suma ariilor dreptunghiurilor, a căror latură este , iar cealaltă este .

Dacă rezumăm ariile dreptunghiurilor care arată aria unui trapez curbiliniu cu un dezavantaj [Figura 1], atunci obținem formula:

[Imaginea 1]

atunci obținem formula:

Dacă în abundenţă

[Figura 2],

Acea

Valori y 0 , y 1 ,..., y n găsite din egalităţi , k = 0, 1..., n.Aceste formule se numesc formule dreptunghiulareși oferă rezultate aproximative. Odată cu creșterea n rezultatul devine mai precis.

Deci, pentru a găsi valoarea aproximativă a integralei, aveți nevoie de:

Pentru a găsi eroarea de calcul, trebuie să utilizați formulele:

Exemplul 1 Calculați prin formula dreptunghiurilor. Aflați erorile absolute și relative ale calculelor.

Să împărțim segmentul [ A, b] în mai multe (de exemplu, 6) părți egale. Apoi a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(X 0) = 2 2 = 4
f (X 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (X 2) = 3 2 = 9
f (X 3) = 3,5 2 = 12,25
f (X 4) = 4 2 = 16
f (X 5) = 4,5 2 = 20,25.

Conform formulei (1):

Pentru a calcula eroarea relativă a calculelor, este necesar să găsiți valoarea exactă a integralei:

Calculele au durat mult și am obținut o rotunjire destul de grosieră. Pentru a calcula această integrală cu o aproximare mai mică, puteți utiliza capacitățile tehnice ale computerului.

Pentru a găsi o integrală definită prin metoda dreptunghiurilor, este necesar să introduceți valorile integrandului f(x) la o foaie de lucru Excel din interval X cu un pas dat X= 0,1.

1. Compilarea unui tabel de date (XȘi f(x)). X f(x). Argument, iar în celula B1 - cuvântul Funcţie2 2,1 ). Apoi, după selectarea blocului de celule A2:A3, obținem toate valorile argumentului prin auto-completare (ne întindem dincolo de colțul din dreapta jos al blocului până la celula A32, la valoarea x=5).
2. În continuare, introducem valorile integrandului. În celula B2, trebuie să scrieți ecuația acesteia. Pentru a face acest lucru, plasați cursorul tabelului în celula B2 și introduceți formula de la tastatură =A2^2(pentru dispunerea tastaturii engleze). Apăsați tasta introduce. În celula B2 apare 4 . Acum trebuie să copiați funcția din celula B2. Completarea automată copiați această formulă în intervalul B2:B32.
   Ca rezultat, ar trebui să se obțină un tabel de date pentru găsirea integralei.
3. Acum, în celula B33 poate fi găsită o valoare aproximativă a integralei. Pentru a face acest lucru, în celula B33, introduceți formula = 0,1*, apoi apelați Expertul pentru funcții (prin apăsarea butonului Inserare funcție de pe bara de instrumente (f(x)). În caseta de dialog Function Wizard-Pasul 1 din 2 care apare, în stânga, în câmpul Categorie, selectați Math. În partea dreaptă în câmpul Funcție - funcția Sum. Apăsăm butonul BINE. Apare caseta de dialog Sumă. Introduceți intervalul de însumare B2:B31 în câmpul de lucru cu mouse-ul. Apăsăm butonul BINE.În celula B33, o valoare aproximativă a integralei dorite apare cu un dezavantaj ( 37,955 ) .

Compararea valorii aproximative obținute cu valoarea adevărată a integralei ( 39 ), se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiurilor în acest caz este egală cu

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Exemplul 2 Folosind metoda dreptunghiurilor, calculați cu un pas dat X = 0,05.

Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea adevărată a integralei , se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiurilor în acest caz este egală cu

Metoda trapezului oferă de obicei o valoare integrală mai precisă decât metoda dreptunghiului. Trapezul curbiliniu se înlocuiește cu suma mai multor trapeze și valoarea aproximativă a integralei definite se găsește ca suma ariilor trapezelor.

[Imaginea 3]

Exemplul 3 Găsire trapezoidală pas cu pas X = 0,1.

1. Deschideți o foaie de lucru goală.
2. Compilarea unui tabel de date (XȘi f(x)). Fie prima coloană să fie valorile X, iar al doilea indicator corespunzător f(x). Pentru a face acest lucru, în celula A1, introduceți cuvântul Argument, iar în celula B1 - cuvântul Funcţie. În celula A2, se introduce prima valoare a argumentului - marginea din stânga a intervalului ( 0 ). În celula A3, se introduce a doua valoare a argumentului - marginea din stânga a intervalului plus pasul de construcție ( 0,1 ). Apoi, după selectarea blocului de celule A2:A3, obținem toate valorile argumentului prin auto-completare (ne întindem dincolo de colțul din dreapta jos al blocului până la celula A33, la valoarea x=3,1).
3. În continuare, introducem valorile integrandului. În celula B2, trebuie să scrieți ecuația acesteia (în exemplul unui sinus). Pentru a face acest lucru, cursorul tabelului trebuie plasat în celula B2. Ar trebui să existe o valoare sinus corespunzătoare valorii argumentului din celula A2. Pentru a obține valoarea sinusului, vom folosi o funcție specială: faceți clic pe butonul funcție Insert din bara de instrumente f(x). În caseta de dialog Function Wizard-Pasul 1 din 2 care apare, în stânga, în câmpul Categorie, selectați Math. În partea dreaptă în câmpul Funcție - o funcție PĂCAT. Apăsăm butonul BINE. Apare o casetă de dialog PĂCAT. Trecând cursorul mouse-ului peste câmpul gri al ferestrei, cu butonul din stânga apăsat, mutați câmpul la dreapta pentru a deschide coloana de date ( A). Specificați valoarea argumentului sinus făcând clic pe celula A2. Apăsăm butonul BINE.În celula B2 apare 0. Acum trebuie să copiați funcția din celula B2. Completarea automată copiați această formulă în intervalul B2:B33. Ca rezultat, ar trebui să se obțină un tabel de date pentru găsirea integralei.
4. Acum, în celula B34, o valoare aproximativă a integralei poate fi găsită folosind metoda trapezului. Pentru a face acest lucru, în celula B34, introduceți formula \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, apoi apelați Expertul pentru funcții (prin apăsarea butonului Inserare funcție de pe bara de instrumente (f(x)). În caseta de dialog Function Wizard-Pasul 1 din 2 care apare, în stânga, în câmpul Categorie, selectați Math. În partea dreaptă în câmpul Funcție - funcția Sum. Apăsăm butonul BINE. Apare caseta de dialog Sumă. Introduceți intervalul de însumare B3:B32 în câmpul de lucru cu mouse-ul. Apăsăm butonul Bineîncă o dată BINE.În celula B34, o valoare aproximativă a integralei căutate apare cu un dezavantaj ( 1,997 ) .

Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea adevărată a integralei, se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiurilor în acest caz este destul de acceptabilă pentru practică.

1. Rezolvarea exercițiilor.

Cum se calculează o integrală definită
folosind formula trapezoidală și metoda Simpson?

Metodele numerice reprezintă o secțiune destul de mare de matematică superioară, iar manualele serioase pe această temă au sute de pagini. În practică, în munca de control propus în mod tradițional pentru rezolvarea unor probleme prin metode numerice, iar una dintre problemele comune este - calculul aproximativ integrale definite. În acest articol, voi lua în considerare două metode pentru calculul aproximativ al unei integrale definite − metoda trapezoidalăȘi metoda lui Simpson.

Ce trebuie să știi pentru a stăpâni aceste metode? Sună amuzant, dar este posibil să nu poți lua integrale deloc. Și chiar nu înțeleg ce sunt integralele. Din mijloace tehnice ai nevoie de un calculator. Da, da, așteptăm calculele școlare de rutină. Mai bine încă, descărcați calculatorul meu semi-automat pentru metoda trapezoidală și metoda Simpson. Calculatorul este scris în Excel și vă va permite să reduceți de zece ori timpul de rezolvare și procesare a sarcinilor. Este inclus un manual video pentru ceainicele Excel! Apropo, primul videoclip cu vocea mea.

În primul rând, să ne punem întrebarea, de ce avem nevoie de calcule aproximative? Se pare că este posibil să găsim antiderivată a funcției și să folosiți formula Newton-Leibniz, calculând valoarea exactă a unei anumite integrale. Ca răspuns la întrebare, să luăm imediat în considerare un exemplu demonstrativ cu o imagine.

Calculați o integrală definită

Totul ar fi bine, dar acest exemplu integrala nu este luată - înainte de tine nu este luată, așa-numita logaritm integral. Există măcar această integrală? Să reprezentăm graficul integrandului în desen:

Totul e bine. Integrandul este continuu pe interval, iar integrala definită este numeric egală cu zona umbrită. Da, asta este doar o problemă - integrala nu este luată. Și în astfel de cazuri, metodele numerice vin în ajutor. În acest caz, problema apare în două formulări:

1) Calculați integrala definită aproximativ , rotunjind rezultatul la o anumită zecimală. De exemplu, până la două zecimale, până la trei zecimale etc. Să presupunem că obțineți un răspuns aproximativ de 5,347. De fapt, este posibil să nu fie complet corect (de fapt, să spunem că răspunsul mai precis este 5.343). Sarcina noastră este numai în asta pentru a rotunji rezultatul la trei zecimale.

2) Calculați integrala definită aproximativ, cu o anumită precizie. De exemplu, calculați integrala definită aproximativ cu o precizie de 0,001. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că trebuie să găsim o astfel de valoare aproximativă încât modulo (Intr-un fel sau altul) diferă de adevăr cu cel mult 0,001.

Există mai multe metode de bază pentru calculul aproximativ al unei integrale definite care apare în probleme:

Segmentul de integrare este împărțit în mai multe părți și se construiește o figură în trepte, care este aproape ca zonă de zona dorită:

Nu judeca strict după desene, acuratețea nu este perfectă - ele ajută doar la înțelegerea esenței metodelor.

Ideea este asemănătoare. Segmentul de integrare este împărțit în mai multe segmente intermediare, iar graficul integranților se abordează linie frântă linia:

Deci aria noastră (umbrire albastră) este aproximată prin suma ariilor trapezelor (roșu). De aici și numele metodei. Este ușor de observat că metoda trapezului oferă o aproximare mult mai bună decât metoda dreptunghiului (cu același număr de segmente de partiție). Și, desigur, cu cât considerăm mai multe segmente intermediare mai mici, cu atât precizia va fi mai mare. Metoda trapezului este întâlnită din când în când în sarcini practice, iar în acest articol vor fi analizate câteva exemple.

Metoda lui Simpson (metoda parabolelor). Aceasta este o modalitate mai perfectă - graficul integrandului este abordat nu printr-o linie întreruptă, ci prin mici parabole. Câte segmente intermediare - atâtea parabole mici. Dacă luăm aceleași trei segmente, atunci metoda Simpson va oferi o aproximare și mai precisă decât metoda dreptunghiului sau metoda trapezului.

Nu văd rostul construirii unui desen, deoarece vizual aproximarea va fi suprapusă pe graficul funcției (linia întreruptă a paragrafului anterior - și chiar și atunci aproape a coincis).

Sarcina de a calcula o integrală definită folosind formula Simpson este cea mai populară sarcină în practică. Iar metodei parabolelor i se va acorda o atenție considerabilă.

Cum se calculează o integrală definită folosind metoda trapezului?

În primul rând, formula generală. Poate că nu va fi clar pentru toată lumea și nu imediat ... Da, Karlsson este cu tine - exemplele practice vor clarifica totul! Calm. Doar calm.

Se consideră integrala definită, unde este o funcție continuă pe segment. Să împărțim segmentul în egal segmente:
. În acest caz, evident: (limita inferioară a integrării) și (limita superioară a integrării). puncte numit si noduri.

Atunci integrala definită poate fi calculată aproximativ prin formula trapezoidală:
, Unde:
Etapa;
sunt valorile integrandului în puncte .

Exemplul 1

Calculați o integrală aproximativ definită folosind formula trapezoidală. Rotunjiți rezultatele la trei zecimale.

a) Împărțirea segmentului de integrare în 3 părți.
b) Împărțirea segmentului de integrare în 5 părți.

Soluţie:
a) În special pentru manechine, am legat primul paragraf de desen, care a demonstrat clar principiul metodei. Dacă va fi dificil, uitați-vă la desen în cursul comentariilor, iată o bucată din el:

După condiție, segmentul de integrare trebuie împărțit în 3 părți, adică .
Calculați lungimea fiecărui segment al partiției: . Parametrul, vă reamintesc, se mai numește Etapa.

Câte puncte (noduri de partiție) vor fi? Vor exista încă una decât numărul de segmente:

Ei bine, formula generală a trapezelor este redusă la o dimensiune plăcută:

Pentru calcule, puteți utiliza un microcalculator obișnuit:

Rețineți că, în conformitate cu starea problemei, toate calculele trebuie rotunjite la a treia zecimală.

In cele din urma:

Din punct de vedere geometric, am calculat suma ariilor a trei trapeze (vezi poza de mai sus).

b) Împărțim segmentul de integrare în 5 părți egale, adică . De ce este nevoie de asta? Pentru ca Phobos-Grunt să nu cadă în ocean - prin creșterea numărului de segmente, creștem precizia calculelor.

Dacă , atunci formula trapezoidală ia următoarea formă:

Să găsim pasul de partiţionare:
, adică lungimea fiecărui segment intermediar este de 0,6.

La terminarea sarcinii, este convenabil să întocmiți toate calculele cu un tabel de calcul:

În prima linie scriem „contor”

Cred că toată lumea poate vedea cum se formează a doua linie - mai întâi notăm limita inferioară de integrare, obținem valorile rămase adăugând succesiv pasul.

După ce principiu se umple linia de jos, cred că aproape toată lumea a înțeles. De exemplu, dacă , atunci . Ceea ce se numește, luați în considerare, nu fi leneș.

Ca urmare:

Ei bine, chiar există o clarificare, și una serioasă! Dacă pentru 3 segmente ale partiției valoarea aproximativă a fost, atunci pentru 5 segmente . Astfel, cu un grad ridicat de certitudine, se poate susține că, cel puțin .

Exemplul 2

Calculați o integrală aproximativ definită folosind formula trapezoidală cu o precizie de două zecimale (până la 0,01).

Soluţie: Aproape aceeași problemă, dar într-o formulare ușor diferită. Diferența fundamentală față de exemplul 1 este că noi nu stim, ÎN CATE segmente pentru a împărți segmentul de integrare pentru a obține două zecimale corecte. Cu alte cuvinte, nu cunoaștem valoarea .

Există o formulă specială care vă permite să determinați numărul de segmente de partiție pentru a vă asigura că este atinsă precizia necesară, dar în practică este adesea dificil de aplicat. Prin urmare, este avantajos să folosiți o abordare simplificată.

În primul rând, segmentul de integrare este împărțit în mai multe segmente mari, de regulă, în 2-3-4-5. Să împărțim segmentul de integrare, de exemplu, în aceleași 5 părți. Formula este deja familiară:

Și pasul, desigur, este și cunoscut:

Dar apare o altă întrebare, la ce cifră trebuie rotunjite rezultatele? Condiția nu spune nimic despre câte zecimale trebuie lăsate. Recomandarea generală este: Trebuie adăugate 2-3 cifre la precizia necesară. În acest caz, precizia necesară este de 0,01. Conform recomandării, după virgulă, pentru fidelitate, lăsăm cinci caractere (patru ar fi putut fi):

Ca urmare:
, notăm aproximarea prin .

După rezultatul primar, numărul de segmente dubla. În acest caz, este necesar să se împartă în 10 segmente. Și când numărul de segmente crește, atunci îmi vine în minte un gând strălucitor că băgarea degetelor într-un microcalculator este deja obosită cumva. Prin urmare, îmi propun încă o dată să descarc și să folosesc calculatorul meu semi-automat (link la începutul lecției).

Pentru formula trapezoidală ia următoarea formă:

În versiunea pe hârtie, intrarea poate fi transferată în siguranță pe linia următoare.

Să calculăm pasul de partiție:

Rezultatele calculelor sunt rezumate în tabel:


Când terminați într-un caiet, este avantajos să transformați o masă lungă într-o masă cu două etaje.

Ca urmare:

Acum calculăm discrepanța dintre aproximări:

Aici folosim semnul modulo, deoarece ne interesează diferenta absoluta, și nu care rezultat este mai mare, ci care este mai puțin.

În ceea ce privește acțiunile ulterioare, personal am întâlnit 2 soluții în practică:

1) Prima modalitate este o „comparație cap la cap”. Deoarece estimarea erorii rezultată Mai mult decât precizia cerută: , atunci este necesar să se dubleze numărul de segmente ale partiției până la și să se calculeze deja. Cu ajutorul unui calculator Excel, rezultatul final poate fi obținut în câteva secunde:. Acum estimăm din nou eroarea: . Scor primit Mai puțin decât precizia cerută: , prin urmare, calculele sunt finalizate. Rămâne să rotunjim ultimul rezultat (cel mai precis) la două zecimale și să dai un răspuns.

2) Altele, mai multe metoda eficienta bazat pe așa-numitul Regulile Runge, conform căreia greșim în a estima integrala definită, de fapt, cu nu mai mult de . În problema noastră: , astfel, nevoia de calcul dispare. Cu toate acestea, pentru viteza soluției în acest caz, a trebuit să plătim cu acuratețe: . Cu toate acestea, acest rezultat este acceptabil, deoarece „limita noastră de eroare” este exact o sutime.

Ce sa aleg? Concentrați-vă pe manualul dvs. de instruire sau pe preferințele profesorului.

Răspuns: precise la 0,01 (când se folosește regula lui Runge).

Exemplul 3

Calculați o integrală aproximativ definită folosind formula trapezoidală cu o precizie de 0,001.

Înainte de tine este din nou o integrală neluată (cosinus aproape integral). În soluția de probă, la prima etapă, a fost efectuată o împărțire în 4 segmente, adică . Soluție completăși o mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

Cum se calculează integrala definită folosind formula lui Simpson?

Dacă ați căutat doar metoda Simpson pe această pagină, atunci vă recomand cu tărie să citiți mai întâi începutul lecției și să vizualizați cel puțin primul exemplu. Din motivul că multe idei și tehnici vor fi similare cu metoda trapezului.

Din nou, să începem cu formula generală
Se consideră integrala definită, unde este o funcție continuă pe segment. Să împărțim segmentul în chiar cantitate egal segmente. Un număr par de segmente este notat cu .

În practică, segmentele pot fi:
Două:
patru:
opt:
zece:
douăzeci:
Nu-mi amintesc alte variante.

Atenţie! Numărul este înțeles ca UN NUMĂR. Acesta este, ESTE INTERZIS reduce, de exemplu, cu doi, obținând . Înregistrare numai reprezintă că numărul de segmente uniform. Și nu există reduceri de care să vorbim.

Deci partiția noastră arată astfel:

Termenii sunt similari cu cei ai metodei trapezoidale:
Se numesc puncte noduri.

Formula Simpson pentru calculul aproximativ al integralei definite are următoarea formă:
, Unde:
- lungimea fiecăruia dintre segmentele mici sau Etapa;
sunt valorile integrandului la punctele .

Detaliind această acumulare, voi analiza formula mai detaliat:
este suma primelor și ultimelor valori ale integrandului;
este suma membrilor cu chiar indici înmulțiți cu 2;
este suma membrilor cu ciudat indicele se înmulțește cu 4.

Exemplul 4

Calculați integrala aproximativă folosind formula lui Simpson la cel mai apropiat 0,001. Împărțirea începe cu două segmente

Integrala, apropo, din nou nu este luată.

Soluţie: Atrage imediat atenția asupra tipului de sarcină - este necesar să se calculeze o integrală definită cu o anumită precizie. Ce înseamnă asta a fost deja comentat la începutul articolului, precum și pe exemple concrete paragraful anterior. În ceea ce privește metoda trapezului, există o formulă care vă va permite imediat să determinați suma corectă segmente (valoare en) pentru a se asigura că este atinsă precizia necesară. Adevărat, va trebui să găsim derivata a patra și să rezolvăm problema extremală. Cine a înțeles ce vreau să spun și a estimat cantitatea de muncă, a zâmbit. Cu toate acestea, aici nu este de râs, găsirea derivatei a patra a unui astfel de integrand nu va mai fi un megabotan, ci un psihopat clinic. Prin urmare, în practică, aproape întotdeauna se utilizează o metodă simplificată de estimare a erorii.

Începem să decidem. Dacă avem două segmente de partiție, atunci nodurile vor fi încă una: . Și formula lui Simpson ia o formă foarte compactă:

Să calculăm pasul de partiție:

Să completăm tabelul de calcul:

Încă o dată comentez cum este completat tabelul:

În linia de sus scriem „contorul” indicilor

În a doua linie, scriem mai întâi limita inferioară a integrării, apoi adăugăm succesiv pasul.

În a treia linie introducem valorile integrandului. De exemplu, dacă , atunci . Câte zecimale să lăsați?Într-adevăr, condiția din nou nu spune nimic despre asta. Principiul este același ca și în metoda trapezoidală, ne uităm la precizia necesară: 0,001. Și adăugați încă 2-3 cifre. Adică, trebuie să rotunjiți până la 5-6 zecimale.

Ca urmare:

Primul rezultat a fost obținut. Acum dubla număr de segmente până la patru: . Formula lui Simpson pentru această partiție ia următoarea formă:

Să calculăm pasul de partiție:

Să completăm tabelul de calcul:


Prin urmare:

Să găsim valoarea absolută a diferenței dintre aproximări:

Regula lui Runge pentru metoda lui Simpson este delicioasă. Dacă la utilizare metoda dreptunghiului mijlociuși metoda trapezului, ni se oferă o „indulgență” de o treime, acum - până la o cincisprezece:
, iar acuratețea nu mai suferă aici:

Dar, de dragul completității, voi oferi și o soluție „simple”, în care trebuie să faceți un pas suplimentar: deoarece există mai mult decât precizia necesară: , atunci este necesar să se dubleze din nou numărul de segmente: .

Formula lui Simpson crește cu un pas rapid:

Să calculăm pasul:

Să completăm din nou foaia de calcul:

Prin urmare:

Rețineți că aici este de dorit să descrieți calculele mai detaliat, deoarece formula lui Simpson este destul de greoaie și dacă dați imediat:
, atunci această băutură va arăta ca un hack. Și cu o înregistrare mai detaliată, profesorul va avea impresia favorabilă că ai șters cu conștiință cheile microcalculatorului pentru o oră bună. Calcule detaliate pentru cazurile „grele” sunt prezente în calculatorul meu.

Estimăm eroarea:

Eroarea este mai mică decât precizia necesară: . Rămâne să luați cea mai precisă aproximare, să o rotunjiți la trei zecimale și să scrieți:

Răspuns: precisă la 0,001

Exemplul 5

Calculați o integrală aproximativă folosind formula lui Simpson la cel mai apropiat 0,0001. Împărțirea începe cu două segmente

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Un exemplu gros de finalizare a lucrării și un răspuns la sfârșitul lecției.

În partea finală a lecției, vom lua în considerare câteva exemple mai comune.

Exemplul 6

Calculați valoarea aproximativă a unei integrale definite folosind formula Simpson, împărțind segmentul de integrare în 10 părți. Calculele sunt efectuate cu o precizie de trei zecimale.

În primul rând, formula generală. Poate că nu va fi clar pentru toată lumea și nu imediat ... Da, Karlsson este cu tine - exemplele practice vor clarifica totul! Calm. Doar calm.

Se consideră integrala definită, unde este o funcție continuă pe segment. Să împărțim segmentul în egal segmente:
. În acest caz, evident: (limita inferioară a integrării) și (limita superioară a integrării). puncte numit si noduri.

Atunci integrala definită poate fi calculată aproximativ prin formula trapezoidală:
, Unde:
- lungimea fiecăruia dintre segmentele mici sau Etapa;
sunt valorile integrandului în puncte .

Exemplul 1

Calculați o integrală aproximativ definită folosind formula trapezoidală. Rotunjiți rezultatele la trei zecimale.

a) Împărțirea segmentului de integrare în 3 părți.
b) Împărțirea segmentului de integrare în 5 părți.

Soluţie:
a) În special pentru manechine, am legat primul paragraf de desen, care a demonstrat clar principiul metodei. Dacă va fi dificil, uitați-vă la desen în cursul comentariilor, iată o bucată din el:

După condiție, segmentul de integrare trebuie împărțit în 3 părți, adică .
Calculați lungimea fiecărui segment al partiției: . Parametrul, vă reamintesc, se mai numește Etapa.

Câte puncte (noduri de partiție) vor fi? Vor exista încă una decât numărul de segmente:

Astfel, formula generală a trapezelor este redusă la o dimensiune plăcută:

Pentru calcule, puteți utiliza un microcalculator obișnuit:

Rețineți că, în conformitate cu starea problemei, toate calculele trebuie rotunjite la a treia zecimală.

In cele din urma:

Vă reamintesc că valoarea obținută este o valoare aproximativă a zonei (vezi figura de mai sus).

b) Împărțim segmentul de integrare în 5 părți egale, adică . De ce este nevoie de asta? Pentru ca Phobos-Grunt să nu cadă în ocean - prin creșterea numărului de segmente, creștem precizia calculelor.

Dacă , atunci formula trapezoidală ia următoarea formă:

Să găsim pasul de partiţionare:
, adică lungimea fiecărui segment intermediar este de 0,6.

La terminarea sarcinii, este convenabil să întocmiți toate calculele cu un tabel de calcul:

În prima linie scriem „contor”

Cred că toată lumea poate vedea cum se formează a doua linie - mai întâi notăm limita inferioară de integrare, obținem valorile rămase adăugând succesiv pasul.

După ce principiu se umple linia de jos, cred că aproape toată lumea a înțeles. De exemplu, dacă , atunci . Ceea ce se numește, luați în considerare, nu fi leneș.

Ca urmare:

Ei bine, chiar există o clarificare, și una serioasă!
Dacă pentru 3 segmente ale partiției , atunci pentru 5 segmente . Astfel, cu un grad ridicat de certitudine, se poate susține că, cel puțin .

Exemplul 2

Calculați o integrală aproximativ definită folosind formula trapezoidală cu o precizie de două zecimale (până la 0,01).

Soluţie: Aproape aceeași problemă, dar într-o formulare ușor diferită. Diferența fundamentală față de exemplul 1 este că noi nu stim, ÎN CATE segmente pentru a împărți segmentul de integrare pentru a obține două zecimale corecte. Cu alte cuvinte, nu cunoaștem valoarea .

Există o formulă specială care vă permite să determinați numărul de segmente de partiție pentru a vă asigura că este atinsă precizia necesară, dar în practică este adesea dificil de aplicat. Prin urmare, este avantajos să folosiți o abordare simplificată.

În primul rând, segmentul de integrare este împărțit în mai multe segmente mari, de regulă, în 2-3-4-5. Să împărțim segmentul de integrare, de exemplu, în aceleași 5 părți. Formula este deja familiară:

Și pasul, desigur, este și cunoscut:

Dar apare o altă întrebare, la ce cifră trebuie rotunjite rezultatele? Condiția nu spune nimic despre câte zecimale trebuie lăsate. Recomandarea generală este: Trebuie adăugate 2-3 cifre la precizia necesară. În acest caz, precizia necesară este de 0,01. Conform recomandării, după virgulă, pentru fidelitate, lăsăm cinci caractere (patru ar fi putut fi):

Ca urmare:

După rezultatul primar, numărul de segmente dubla. În acest caz, este necesar să se împartă în 10 segmente. Și când numărul de segmente crește, atunci îmi vine în minte un gând strălucitor că băgarea degetelor într-un microcalculator este deja obosită cumva. Prin urmare, îmi propun încă o dată să descarc și să folosesc calculatorul meu semi-automat (link la începutul lecției).

Pentru formula trapezoidală ia următoarea formă:

În versiunea pe hârtie, intrarea poate fi transferată în siguranță pe linia următoare.

Să calculăm pasul de partiție:

Rezultatele calculelor sunt rezumate în tabel:


Când terminați într-un caiet, este avantajos să transformați o masă lungă într-o masă cu două etaje.

Calculul integralelor folosind formulele dreptunghiurilor, trapezelor și formulei lui Simpson. Estimarea erorilor.

Orientări privind subiectul 4.1:

Calculul integralelor prin formule de dreptunghiuri. Estimarea erorii:

Rezolvarea multor probleme tehnice se reduce la calculul anumitor integrale, a căror exprimare exactă este dificilă, necesită calcule lungi și nu este întotdeauna justificată în practică. Aici, valoarea lor aproximativă este destul de suficientă. De exemplu, trebuie să calculați aria delimitată de o dreaptă a cărei ecuație este necunoscută, axa Xși două ordonate. În acest caz, puteți înlocui această linie cu una mai simplă, pentru care ecuația este cunoscută. Aria trapezului curbiliniu astfel obținut este luată ca valoare aproximativă a integralei dorite. Geometric, ideea din spatele metodei de calcul a integralei definite folosind formula dreptunghiurilor este că aria unui trapez curbiliniu A 1 ABB 1 este înlocuit cu aria unui dreptunghi cu suprafață egală A 1 A 2 B 1 B 2, care, conform teoremei valorii medii, este egală cu

Unde f(c) --- inaltime dreptunghi A 1 A 2 B 1 B 2, care este valoarea integrandului la un punct intermediar c(a< c