Baza sistemului de numere binar este numărul 4. Numere binare: sistemul de numere binar. Conversia numerelor binare fracționale în zecimale

Întâlnim sistemul de numere binar atunci când studiem disciplinele computerului. La urma urmei, pe baza acestui sistem sunt construite procesorul și unele tipuri de criptare. Există algoritmi speciali pentru scrierea unui număr zecimal în binar și invers. Dacă cunoașteți principiul construirii unui sistem, nu va fi dificil să operați în el.

Principiul construirii unui sistem de zerouri și unu

Sistemul de numere binare este construit folosind două cifre: zero și unu. De ce exact aceste numere? Acest lucru se datorează principiului de construire a semnalelor care sunt utilizate în procesor. La cel mai scăzut nivel, semnalul ia doar două valori: „fals” și „adevărat”. Prin urmare, s-a acceptat că absența unui semnal, „fals”, se notează cu zero, iar prezența acestuia, „adevărat”, cu unu. Această combinație este ușor de implementat din punct de vedere tehnic. Numerele din sistemul binar sunt formate în același mod ca în zecimală. Când un bit atinge limita superioară, este resetat la zero și este adăugat un nou bit. Conform acestui principiu, se realizează trecerea printr-o duzină în sistemul zecimal. Astfel, numerele sunt alcătuite din combinații de zerouri și unu, iar această combinație se numește „sistem de numere binar”.

Cum se scrie un număr binar ca zecimală?

Există servicii online care convertesc un număr într-un sistem binar și invers, dar este mai bine să poți să o faci singur. Sistemul binar în traducere este notat cu indicele 2, de exemplu, 101 2 . Fiecare număr din orice sistem poate fi reprezentat ca o sumă de numere, de exemplu: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - în sistemul zecimal. Așa este reprezentat un număr în binar. Luați un număr arbitrar 101 și luați în considerare. Are 3 cifre, așa că descompunem numărul în acest fel: 101 2 \u003d 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 \u003d 4 + 1 \u003d 5 10, unde indicele 10 denotă sistemul zecimal.

Cum se scrie un număr prim în binar?

Este foarte ușor să convertiți în binar împărțind un număr la doi. Este necesar să se împartă atâta timp cât este posibil să o completeze complet. De exemplu, să luăm numărul 871. Începem să împărțim, asigurați-vă că scrieți restul:

871:2=435 (restul 1)

435:2=217 (restul 1)

217:2=108 (restul 1)

Răspunsul este scris în funcție de soldurile primite în direcția de la sfârșit la început: 871 10 \u003d 101100111 2 . Puteți verifica corectitudinea calculelor folosind traducerea inversă descrisă mai devreme.

De ce trebuie să cunoașteți regulile de traducere?

Sistemul de numere binare este utilizat în majoritatea disciplinelor legate de electronica microprocesorului, codificarea, transmiterea și criptarea datelor, în diverse domenii ale programarii. Cunoașterea elementelor de bază ale conversiei de la orice sistem la binar îl va ajuta pe programator să dezvolte diferite microcircuite și să controleze funcționarea procesorului și a altor sisteme similare în mod programatic. Sistemul de numere binare este, de asemenea, necesar pentru implementarea metodelor de transmitere a pachetelor de date pe canale criptate și crearea de proiecte software client-server pe baza acestora. Într-un curs școlar de informatică, elementele de bază ale conversiei într-un sistem binar și invers sunt materialul de bază pentru a învăța programarea în viitor și pentru a crea programe simple.

Cu ajutorul acestuia calculator online Puteți converti numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Se oferă o soluție detaliată cu explicații. Pentru a traduce, introduceți numărul inițial, setați baza sistemului numeric al numărului original, setați baza sistemului numeric la care doriți să convertiți numărul și faceți clic pe butonul „Traduceți”. Vezi mai jos partea teoretică și exemple numerice.

Rezultatul a fost deja primit!

Traducerea numerelor întregi și fracționale dintr-un sistem de numere în oricare altul - teorie, exemple și soluții

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de cifre arabe pe care îl folosim în Viata de zi cu zi, este pozițional, în timp ce Roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Luați în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

Numărul 10 definește sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției numărului dat sunt luate ca grade.

Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. O numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele de numere.Un număr în sistemul de numere zecimal este format dintr-un set de cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), într-un sistem de numere octale - dintr-un set de cifre (0,1,2,3,4,5,6,7), într-un sistem de numere binar - dintr-un set de cifre (0,1), într-un set de cifre (0,1), într-un set de cifre, 1, 2, 1, 2 cifre 5,6,7,8, 9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11,12,13,14,15. Tabelul 1 prezintă numerele în diferite sisteme numerice.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a traduce numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi, din sistemul numeric zecimal, să îl traduceți în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistem numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din hexazecimal în zecimal SS. Soluţie:

Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- la 15.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să traduceți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a numărului este translată din SS zecimal într-un alt sistem de numere - prin împărțirea succesivă a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - cu 2, pentru SS cu 8 cifre - cu 8, pentru 16 cifre - cu 16 etc.) până când se obține un rest întreg, mai mic decât baza SS.

Exemplu 4 . Să traducem numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159, când este împărțit la 2, dă câtul 79, iar restul este 1. În plus, numărul 79, când este împărțit la 2, dă câtul 39 și restul este 1 și așa mai departe. Ca rezultat, construind un număr din restul diviziunii (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare, putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

Când convertiți un număr din SS zecimal în SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic de 8. Ca rezultat, construind un număr din restul diviziunii (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare, putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să traducem numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

După cum se poate observa din Figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, am obținut resturile 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 - D. Prin urmare, numărul nostru hexazecimal este 4CD9.

Pentru a converti fracțiile zecimale corecte (un număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s, acest număr trebuie înmulțit succesiv cu s până când partea fracțională este zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă diferită de zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să traducem numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

După cum se poate observa din Fig.4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă, atunci când este înmulțit, se obține un număr cu o parte întreagă zero, atunci zero este scris în stânga acestuia. Procesul de înmulțire continuă până când se obține un zero pur în partea fracțională sau se obține numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos, obținem numărul necesar în sistemul binar: 0. 0011011 .

Prin urmare, putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să traducem numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă s-a obținut 0. Prin urmare, s-a obținut următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să traducem numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele C și B corespund numerelor 12 și 11. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să traducem numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

A primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să traducem numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să traducem numărul 19673.214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem.

Pentru a in termeni generali Pentru a înțelege cum gândește un computer, să începem de la început. Un computer este în esență o mulțime de componente electronice puse împreună în ordinea corectă. Și electronica (înainte de a fi adăugat programul) înțelege un singur lucru: este pornit sau oprit, există semnal sau nu există semnal.

De obicei, „există un semnal” este notat cu unu, iar „niciun semnal” este notat cu zero: de aici și expresia că „calculatorul vorbește limbajul zerourilor și al unurilor”.

Acest limbaj al zerourilor și al unuurilor este numit și sistem de numere binar - deoarece are doar două cifre. Sistemul nostru obișnuit de numere este zecimal, are zece cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Dar sunt multe altele - octale, cinci, unsprezece și orice altceva.

Tu și cu mine nu avem numere zece, nu? Număr 10 este format din două numere- 1 și 0.

În mod similar, în sistemul de numere chinari, nu va exista „5”, doar 0, 1, 2, 3 și 4.

Să numărăm în sistemul quinar: 0, 1, 2, 3, 4, 10 , 11, 12, 13, 14, 20 , 21, 22, 23, 24, 30 , 31, 32, 33, 34, 40 , 41, 42, 43, 44, 100 (!!!), 101, 102 și așa mai departe. Putem spune că, așa cum este numit sistemul de numere, nu există o astfel de cifră în el. În zecimala noastră nu există cifră „10”, în quinară nu există cifră „5” (și toate cele de după ea), în octal - „8” și așa mai departe.

Și în hexazecimal „16”, de exemplu, există! Prin urmare, ne este și mai dificil să înțelegem sistemul hexazecimal. Să numărăm în hexazecimal:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20 , 21, 22…97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0, A1, A2… F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, FE, FF, 100 , 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 10A, 10B, 10C și așa mai departe.

Totuși, sistemul de numere binare arată ciudat pentru un aspect necunoscut:

0, 1, 10 , 11, 100 , 101, 110, 111, 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001…

Acestea sunt numerele pe care computerul le gândește undeva în interiorul său. Dar este complet incomod pentru o persoană să gândească cu astfel de numere, așa că vom converti numerele din binar într-un sistem de numere mai convenabil.

În programele de calculator se folosesc adesea sisteme octale și hexazecimale: este ușor pentru un computer să le înțeleagă (pentru că 8=2*2*2, 16=2*2*2*2, iar computerul este familiarizat cu sistemul binar de la bun început), iar pentru oameni este convenabil, deoarece este mai aproape de zecimalul obișnuit.

Cum se traduce numerele dintr-un sistem numeric în altul? Pentru a înțelege principiul, ne vom ocupa, așa cum ne place, de dulciuri.

Și pe dulciuri, vom traduce numărul 33 în sistemul de numere octale. Vom decide că unitățile sunt bomboanele în sine, iar zecile sunt cutiile, fiecare dintre acestea conținând zece bomboane. Deci, se dovedește că 33 sunt 3 cutii cu 10 bomboane și încă 3 bomboane undeva pe lateral.

Dar ne transformăm bogăția de bomboane în octal, ceea ce înseamnă că trebuie să scuturăm toate bomboanele din cutii de 10, să le punem în cutii de 8 și să vedem ce se întâmplă.

Din 33 primești 4 cutii octale pline și 1 bomboană va rămâne singură, deoarece 33/8=4 (rămanând 1). Adică 33=8* 4 +1 - deci în sistemul de numere octale obțineți numărul 41 .

33 în zecimală este 41 în octal. Acesta este același număr, pur și simplu descompus în casete diferite, tradus în baze diferite. Numărul de dulciuri nu s-a schimbat, doar le-am numărat diferit!

Sistemul binar, așa cum am aflat deja, este mai ciudat și mai neobișnuit pentru ochiul uman. Să încercăm să convertim 33 în binar - se vor dovedi până la 16 cutii de 2! Si ce sa fac? Scrierea a 16 este oarecum ciudată, amintindu-ne că în sistemul binar există doar zero și unu, iar cei șase de care avem nevoie pentru șaisprezece cu siguranță nu sunt!

Să ne uităm la sistemul nostru zecimal. În el numărăm zeci - 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 - și când avem zece zeci, scoatem o cutie mare - 100.

Avem 100 - acesta este 10 * 10, 1000 - 10 * 10 * 10, 10.000 - 10 * 10 * 10 * 10 și așa mai departe. Pentru alte sisteme numerice, funcționează exact la fel! În sistemul octal 100=8*8, 1000=8*8*8; în binar 100=2*2 și 1000=2*2*2; și în hexazecimal (există unul, vă amintiți?) 100=16*16, 1000=16*16*16.

Aici diplomele sunt utile. Dacă nu le-ați luat încă la școală, nu vă faceți griji, diplomele sunt foarte ușoare. Un număr de putere este un număr înmulțit cu el însuși de un număr de ori. Adică 5 3 \u003d 5 * 5 * 5 ( cinci V al treilea gradul este cinci, Trei ori în sine: 5*5*5), sau 8 5 = 8*8*8*8*8 ( opt V a cincea gradul este opt, cinci ori însuși înmulțit: 8*8*8*8*8).

Dacă ne amintim despre 10.000=10*10*10*10 în zecimală și 1000=8*8*8 în octal, atunci putem vedea cu ușurință că de câte zerouri, de atâtea ori înmulțim cu noi înșine. Cu alte cuvinte, numărul de caractere din numărul minus unu este puterea la care trebuie ridicată baza. În numărul 1000 avem patru caractere, așa că trebuie să ne înmulțim 4–1 adică de 3 ori. Dacă baza este 10, atunci o mie este 10 înmulțit cu ea însăși de trei ori: 10*10*10. Dacă baza este 8, atunci o mie este 8 înmulțit cu ea însăși de trei ori: 8*8*8.

Am început să vorbim despre toate acestea, încercând să convertim 33 în sistemul binar. La fel, împărțirea acestui număr în casete de câte 2 s-a dovedit a fi dificilă. Dar dacă vă amintiți despre sutele noastre-mii, s-ar putea să vă gândiți: dar în binar 100=2*2, 1000=2*2*2, 10.000=2*2*2*2 și așa mai departe.

Pentru a converti de la zecimal la binar, este convenabil să ne amintim puterile lui doi. Se poate spune chiar că fără acest truc cu grade, vom obosi, vom obosi și un pic nebuni. Și puterile a doi arată cam așa:

Acum, uitându-ne la farfurie, vedem că 33=2 5 +1, adică 33=2*2*2*2*2+1. Ne amintim - de câte ori înmulțim, vor fi atât de multe zerouri - adică 2 * 2 * 2 * 2 * 2 în sistemul binar va fi 100000. Să nu uităm pe cel lăsat deoparte și se dovedește că 33 în zecimal este 100001 în binar. Corect și frumos este scris așa:

33 10 =100001 2

Să traducem (pentru a înțelege foarte bine) numărul 15 în sistem binar.

1. În primul rând, să ne uităm la tabel.

a) Care este cel mai apropiat număr de 15 din el? Nu, 16 nu este potrivit, este mai mult și avem nevoie de cel mai apropiat, care este mai puțin. Se pare că acesta este 8, adică 2 3 , adică 2*2*2.

b) Opt bomboane din 15 au fost demontate, au mai rămas 15-8 - șapte. Care este cel mai apropiat număr din tabel? Nu, opt nu vor funcționa din nou, vezi mai sus. Patru vor face, adică 2 2 , adică 2*2.

c) Patru din cele șapte bomboane au fost demontate, au mai rămas doar 7-4 - trei. Din tabel înțelegem că cel mai apropiat număr este 2, adică 2 1 , care este doar 2.

d) Trei minus doi - stânga 1 bomboane, nu este nevoie de semn. Nu te poți uita la acest tip de tablete când restul tău este mai mic decât baza, iar unitatea noastră este cu siguranță mai mică de două.

1. Colectăm împreună tot ce se găsește în tabletă: 15=2 3 + 2 2 + 2 1 + 1, mai este: 15=2*2*2 + 2*2 + 2 + 1.
2. În binar 2*2*2=1000, 2*2=100, 2=10, vă amintiți? Și obținem 1000 + 100 + 10 + 1, adică 1111.
3. Asa de,

15 10 =1111 2

Când te uiți doar la toți acești pași, se pare că acesta este doar o gunoi O grămadă de numere scrise în mod ciudat. Și să te confuzi în toate acestea pentru prima dată este normal. Și în al doilea, și în al treilea. Doar încercați să o faceți din nou și din nou - pas cu pas, așa cum este scris mai sus, și totul va funcționa.

Și invers, funcționează și! De exemplu, numărul 11010101 2 - cum să faci o zecimală ușor de înțeles din el? La fel, cu ajutorul unei farfurii. Să mergem de la final:

1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +0*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =

1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=

1+0+4+0+16+0+64+128=213

11010101 2 = 213 10

Cam așa înțelege computerul numerele cu care suntem obișnuiți.

Când te uiți la el pentru prima dată, se pare că, în primul rând, este complet de neînțeles și, în al doilea rând, nu va funcționa deloc. Prin urmare, acum vom face puțină magie matematică cu tine pentru a ne asigura că sistemele numerice sunt același lucru real, cum ar fi, de exemplu, sarcina de a „da cincisprezece prăjituri în mod egal la cinci copii”.

Deci, să luăm un exemplu 15+6 și rezolvați-l în diferite sisteme numerice. Este clar că în zecimala noastră va ieși 21. Și ce va ieși, de exemplu, în octal?

Traducem 15 în sistemul de numere octale. Primul pas pe care îl facem când ne transferăm într-un alt sistem este să ne uităm la tabelul de grade. 8 2 este deja 64 și cu siguranță nu se va potrivi în 15, așa că luăm 8 1 - adică doar 8. 15–8 = 7, este mai mic decât baza noastră 8, așa că nu facem nimic cu el.

Deci s-a dovedit că 15=8 1 +7 .

În sistemul octal, logica este exact aceeași ca, de exemplu, în binar: 8 3 este 1000, 8 2 este 100, 8 1 este 10. S-a dovedit că:

15 10 =17 8

Permiteți-mi să vă reamintesc că exemplul nostru a fost 15+6. Am tradus 15 în sistem octal, cum putem traduce 6? Este mai puțin de 8, baza noastră, așa că răspunsul este să-l lăsăm așa cum este. Exemplul nostru acum arată astfel:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8

Acum vom adăuga în sistemul de numere octale. Cum se face? La fel ca în zecimală, dar amintiți-vă că zece în octal este opt, nu zece și că 8 și 9 nu există în el.

Când numărăm în zecimale, în esență facem asta:

15+6=15+5+1=20+1=21

Să încercăm să facem același truc în sistemul octal:

17 8 +6 8 =17 8 +1 8 +5 8 =20 8 +5 8 =25 8

De ce 17+1? Pentru că 7+1=8, iar 8 este zece nostru! În sistemul octal, 7+1=10, ceea ce înseamnă 17+1=20. Dacă în acest moment creierul tău începe să tragă un semnal de alarmă și să-ți spună că ceva nu este în regulă aici, întoarce-te la începutul articolului, unde am numărat în diferite sisteme numerice.

Acum arată exemplul nostru

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8

Să traducem 25 8 înapoi în sistemul nostru de numere. În zecimală, dacă am vedea numărul 25, am putea spune că are două zeci și cinci unități. În octal, așa cum probabil ați ghicit deja, numărul 25 8 este doi opt și cinci uni. Adică 25 8 \u003d 2 * 8 + 5 \u003d 21 10.

Deci, iată exemplul nostru complet:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8 =21 10

S-a dovedit exact același 21 pe care l-am primit la început, când am numărat 15 + 6 în mod obișnuit pentru noi în sistemul zecimal.

Regulile aritmetice nu se schimbă de la faptul că am ales un alt sistem de numere.

Prin urmare, computerul, traducând totul în zerouri și unu, care pentru noi par de neînțeles și lipsit de sens, nu pierde informațiile pe care i le-am dat și poate, după ce a calculat într-o formă convenabilă pentru el, să dea rezultatul transferându-l înapoi în forma cu care suntem obișnuiți.

numere binare

Sistem de numere binar este un sistem de numere pozițional cu baza 2. În acest sistem de numere, numerele naturale sunt scrise folosind doar două simboluri (care sunt de obicei numerele 0 și 1).

Sistemul binar este utilizat în dispozitivele digitale deoarece este cel mai simplu și îndeplinește cerințele:

• Cu cât există mai puține valori în sistem, cu atât este mai ușor să faci elemente individuale care operează pe aceste valori. În special, două cifre ale sistemului de numere binare pot fi reprezentate cu ușurință de multe fenomene fizice: există curent - nu există curent, inducția câmpului magnetic este mai mare decât valoarea pragului sau nu etc.
• Cu cât este mai mic numărul de stări pentru un element, cu atât este mai mare imunitatea la zgomot și cu atât poate funcționa mai repede. De exemplu, pentru a codifica trei stări prin mărimea inducției câmpului magnetic, va fi necesar să introduceți două valori de prag, care nu vor contribui la imunitatea la zgomot și la fiabilitatea stocării informațiilor.
• Aritmetica binară este destul de simplă. Simple sunt tabelele de adunare și înmulțire - operațiile de bază asupra numerelor.
• Este posibil să se folosească aparatul algebrei logicii pentru a efectua operații pe biți asupra numerelor.

Legături

• Calculator online pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Fundația Wikimedia. 2010 .

Sistem de numere binar

Contrar credinței populare, sistemul de numere binare a fost inventat nu de inginerii de proiectare a calculatoarelor, ci de matematicieni și filozofi cu mult înainte de apariția computerelor, în secolul al XVII-lea. Marele om de știință german Leibniz credea:
„Calculul cu ajutorul doi... este fundamental pentru știință și generează noi descoperiri... Când numerele sunt reduse la cele mai simple principii, care sunt 0 și 1, o ordine minunată apare peste tot.”
Sistemul binar a apărut pentru prima dată în 1605 în lucrările lui Thomas Harriot (el a inventat semnele > Și ). Mai târziu, sistemul binar a fost uitat, și abia în 1936-1938. Inginerul și matematicianul american Claude Shannon a găsit aplicații remarcabile ale sistemului binar în proiectarea circuitelor electronice.
Sistemul binar este convenabil pentru un computer, dar incomod pentru o persoană - numerele sunt foarte lungi și greu de scris și de reținut. Este folosit, de regulă, pentru „nevoile interne” ale calculatorului. Sistemul de numere binare vă permite să organizați pur și simplu numerele, iar pentru a reprezenta un număr într-un computer, este suficient să aveți un dispozitiv care are doar două stări stabile, dintre care una corespunde cu „1” logic și cealaltă cu „0”. Există o mulțime de astfel de elemente: un miez magnetizat sau nemagnetizat, un tranzistor deschis sau închis etc. Pentru un sistem numeric zecimal, de exemplu, ar fi nevoie de un dispozitiv cu 10 stări stabile. Acest lucru ar complica foarte mult circuitul computerului.
Un alt avantaj important al sistemului binar este simplitatea calculelor. Luați în considerare modul în care sunt efectuate operațiile aritmetice în sistemul binar. Pentru a face acest lucru, vom analiza tabelele de adunare și înmulțire în sistemul binar.

Exemple de adiții binare:


Exemple de multiplicare binară:


Trebuie acordată atenție analogiei în regulile pentru efectuarea operațiilor aritmetice în sistemele de numere binare și zecimale: de exemplu, dacă, la adăugarea a două numere binare, suma cifrelor este mai mare decât unul, atunci are loc un transfer la cifra cea mai mare.
Scăderea numerelor binare se efectuează după cum urmează: Numărul care trebuie scăzut este convertit în cod suplimentar . De exemplu, dacă trebuie să scădeți numărul 01000 din numărul 10110, atunci scăderea 01000 este convertită într-un cod suplimentar, după cum urmează: în loc de 0, se scrie 1 în număr și 0 se scrie în loc de 1, prin urmare, obținem numărul 10111 din scădere. Apoi se adaugă numărul convertit:

Atât subtraendul, cât și minuendul constau din 5 cifre, iar rezultatul sumei este un număr de 6 biți. Cea mai semnificativă cifră a sumei este scăzută din număr și adăugată la rezultat:




Această tehnică este adesea folosită în practica de calcul. De exemplu, în sistemul zecimal, numerele pot fi scăzute astfel. Să presupunem că doriți să găsiți diferența 842-623. Să reprezentăm numărul 623 într-o formă suplimentară, scăzându-l din 1000. Obținem numărul 377. Apoi găsim suma: 842+377=1219. Să renunțăm la transferul la ordinea superioară și să obținem numărul 219. Am găsit o soluție pentru acest exemplu.

Împărțirea numerelor binare se realizează în același mod ca și împărțirea numerelor zecimale. Scăderea și înmulțirea în procesul de împărțire trebuie efectuate în modurile discutate mai devreme.

Cel mai important avantaj al aritmeticii binare este că permite ca toate operațiile aritmetice să fie reduse la una - adăugare, iar acest lucru simplifică foarte mult structura procesorului computerului. Să remarcăm dezavantajul caracteristic sistemului de numere binar - o creștere semnificativă a numărului de cifre cu o creștere a numărului. Dar toate avantajele acestui sistem fac ca un astfel de dezavantaj să nu fie atât de semnificativ.