Care este proiecția forței. În ce direcție este îndreptată reacția unei tije cu capete articulate? Cum este proiecția forței pe axă

Metoda analitică de rezolvare a problemelor de statică se bazează pe conceptul de proiecție a forței pe axă. Proiecția unei forțe (precum și a oricărui alt vector) pe o axă este o mărime algebrică egală cu produsul dintre modulul forței și cosinusul unghiului dintre forță și direcția pozitivă a axei.

Dacă acest unghi este ascuțit, proiecția este pozitivă, dacă este obtuză, este negativă, iar dacă forța este perpendiculară pe axă, proiecția sa pe axă este zero. Deci, pentru forțele prezentate în Fig. 18,

Proiecția forței F pe plan este vectorul cuprins între proiecțiile începutului și sfârșitului forței F pe acest plan (Fig. 19). Astfel, spre deosebire de proiecția forței pe axă, proiecția forței pe plan este o mărime vectorială, deoarece se caracterizează nu numai prin valorile sale numerice, ci și prin direcția în plan Modulo unde este unghiul dintre direcția forței F și proiecția acesteia

În unele cazuri, pentru a găsi proiecția forței pe axă, este mai convenabil să găsiți mai întâi proiecția acesteia pe planul în care se află această axă și apoi să proiectați proiecția găsită pe plan pe axa dată. De exemplu, în cazul prezentat în fig. 19, aflăm în așa fel încât

Mod analitic de precizare a forțelor. Pentru sarcina analitică a forței, este necesar să se aleagă sistemul de axe de coordonate Oxyz, în raport cu care se va determina direcția forței în spațiu.

În mecanică, vom folosi sistemul de coordonate corect, adică un astfel de sistem în care cea mai scurtă aliniere a axei cu axa are loc atunci când este privit din capătul pozitiv al axei în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 20).

Un vector care descrie forța F poate fi construit dacă se cunosc modulul acestei forțe și unghiurile pe care le formează forța cu axele de coordonate. Astfel, cantitățile și se stabilesc forța F. Punctul A de aplicare a forței trebuie specificat separat prin coordonatele sale .

Pentru a rezolva problemele de mecanică, este mai convenabil să setați forța prin proiecțiile sale pe axele de coordonate. Cunoscând aceste proiecții, se poate determina modulul de forță și unghiurile pe care acesta le formează cu axele de coordonate, după formulele:

Dacă toate forțele luate în considerare sunt situate în același plan, atunci fiecare dintre forțe poate fi specificată prin proiecțiile sale pe două axe.Atunci formulele care determină forța din proiecțiile sale vor lua forma:

Mod analitic de adunare a forțelor. Trecerea de la dependențe între vectori la dependențe între proiecțiile lor se realizează folosind următoarea teoremă de geometrie: proiecția vectorului sumă pe o anumită axă este egală cu suma algebrică a proiecțiilor termenilor vectorilor pe aceeași axă. Conform acestei teoreme, dacă R este suma forțelor atunci

Cunoscând din formulele (6) găsim:

Formulele (8), (9) și ne permit să rezolvăm problema adunării forțelor analitic.

Pentru forțele situate în același plan, formulele corespunzătoare iau forma:

Dacă forțele sunt date de modulele și unghiurile lor cu axele, atunci pentru a aplica metoda analitică de adunare este necesar să se calculeze mai întâi proiecțiile acestor forțe pe axele de coordonate.

teorema lui Varignon. Dacă sistemul plan de forțe luat în considerare este redus la o rezultantă, atunci momentul acestei rezultante față de orice punct este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor sistemului dat față de același punct. Să presupunem că sistemul de forțe este redus la rezultanta R care trece prin punctul O. Să luăm acum un alt punct O 1 ca centru de reducere. Momentul principal (5.5) în jurul acestui punct este egal cu suma momentelor tuturor forțelor în formă generală: M O1 =ƩM o1 (F k). În cazul nostru, avem M O1 =M Ol (R), deoarece momentul principal pentru centrul de reducere O este egal cu zero (M O =0). Comparând relaţiile, se obţine M O1 (R)=ƩM Ol (F k); h.t.d.

18.Mod analitic de stabilire a forței Alegem sistemul de coordonate Oxyz. Un vector se poate construi cunoscând modulul şi unghiurile dintre vector şi axele corespunzătoare.Atribuirea acestor mărimi determină forţa. Punctul de aplicare a forței trebuie specificat suplimentar prin coordonatele x, y, z. În plus, forța poate fi setată prin proiecții pe axă. Apoi

Aceste formule permit, cunoscând proiecțiile forței pe axele de coordonate, să se găsească modulul și unghiurile acesteia cu axele, i.e. determina puterea. Cunoscând proiecțiile, puteți construi un vector geometric.

Pentru un plan se vor scrie formulele (2.2.1) și (2.2.2) Construcția în plan se realizează conform axiomei a IV-a a staticii.

19. Dispozitive suport ale sistemelor de fascicule

Se folosesc următoarele tipuri de suporturi:

Balamale - suport mobil

Aici valoarea numerică a reacției suport RA rămâne necunoscută. Trebuie remarcat faptul că suprafața de sprijin a suportului articulat poate să nu fie paralelă cu axa grinzii (Fig.b). Reacția RA în acest caz nu va fi perpendiculară pe axa grinzii, deoarece este perpendiculară pe suprafața de sprijin.

Balamale - suport fix

Acest suport permite rotirea în jurul axei balamalei, dar nu permite nicio mișcare liniară. În acest caz, se cunoaște doar punctul de aplicare al reacției suport - centrul balamalei; direcția și valoarea reacției suport sunt necunoscute. De obicei, în loc să se determine sensul și direcția reacției (totale) RA, se găsesc componentele acesteia RAx și RAy.

Atașare rigidă (prindere) Un astfel de suport nu permite nici mișcarea liniară, nici rotația.În acest caz, nu se cunosc doar valoarea și direcția reacției, ci și punctul de aplicare a acesteia. Prin urmare, terminația rigidă este înlocuită cu o forță de reacție RA și un cuplu de forțe cu un moment MA.

Pentru determinarea reacției suport trebuie găsite trei necunoscute: componentele RAx și RAy ale reacției suport de-a lungul axelor de coordonate și momentul reactiv MA.

20. Proiecția forței pe axă și pe plan

O valoare scalară egală cu lungimea segmentului luat cu semnul corespunzător, închisă între proiecțiile începutului și sfârșitului forței, se numește proiecția forței pe axă.

Proiecția are semnul plus dacă mișcarea de la început până la sfârșit are loc în direcția pozitivă a axei, iar semnul minus dacă este în sens negativ.

Astfel, proiecțiile unei forțe date pe orice axe paralele și egal direcționate sunt egale între ele.

Proiecția forței pe axa Ox se notează cu To, proiecția forței pe axă este egală cu produsul dintre modulul forței și cosinusul unghiului dintre direcția forței și direcția pozitivă a axa.

Dacă o forță este perpendiculară pe o axă, atunci proiecția ei pe acea axă este zero.

Proiecția forței pe planul Oxy este vectorul cuprins între proiecțiile începutului și sfârșitului forței F pe acest plan (Fig. 13).

Proiecția unei forțe pe un plan este o mărime vectorială și se caracterizează atât prin modul cât și prin direcția în planul Oxy. Modulul de proiecție a forței pe planul Oxy este exprimat ca Apoi proiecțiile pe axele Ox și Oy:

21. descompunerea forţelor. A descompune o forță dată în mai multe componente înseamnă a găsi un astfel de sistem de mai multe forțe pentru care această forță este rezultanta. Această problemă este nedefinită și are o soluție unică numai atunci când sunt specificate condiții suplimentare. Să luăm în considerare două cazuri speciale:

a) expansiunea forței în două direcții date. Problema se reduce la construirea unui astfel de paralelogram, în care forța extinsă este o diagonală, iar laturile sunt paralele cu direcțiile date.

b) expansiunea forţei în trei direcţii date. Dacă direcțiile date nu se află în același plan, atunci problema „este definită și se reduce la construirea unui astfel de paralelipiped, în care diagonala ilustrează forța dată R, iar muchiile sunt paralele cu direcțiile date. În cele mai simple cazuri. , metoda descompunerii poate fi folosită pentru determinarea forțelor de presiune asupra legăturilor Pentru a face acest lucru, forța dată care acționează asupra corpului (structurii) trebuie descompusă în direcțiile reacției de legătură, întrucât, conform legii de acțiune și reacție, forța de presiune asupra legăturii și reacția de legătură sunt direcționate de-a lungul aceleiași linii drepte.

Rezolvarea problemelor privind echilibrul forțelor convergente prin construirea de poligoane de forțe închise este asociată cu construcții greoaie. O metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme este trecerea la determinarea proiecțiilor forțelor date pe axele de coordonate și operarea cu aceste proiecții. Axa se numește linie dreaptă, căreia îi este atribuită o anumită direcție.

Proiecția unui vector pe o axă este o valoare scalară, care este determinată de segmentul axei tăiat de perpendicularele căzute pe acesta de la începutul și sfârșitul vectorului.

Proiecția unui vector este considerată pozitivă dacă direcția de la începutul proiecției până la sfârșitul acesteia coincide cu direcția pozitivă a axei. Proiecția unui vector este considerată negativă dacă direcția de la începutul proiecției până la sfârșitul acesteia este opusă direcției pozitive a axei.

Astfel, proiecția forței pe axa de coordonate este egală cu produsul dintre modulul forței și cosinusul unghiului dintre vectorul forței și direcția pozitivă a axei.

Luați în considerare un număr de cazuri de proiectare a forțelor pe o axă:

Vector de forță F(Fig. 15) formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei x.

Pentru a găsi proiecția, de la începutul și sfârșitul vectorului forță coborâm perpendicularele pe axă Oh; primim

1. Fx = F cosα

Proiecția vectorului în acest caz este pozitivă

Forta F(Fig. 16) este cu direcția pozitivă a axei X unghi obtuz α.

Apoi F x= F cos α, dar deoarece α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cos phi.

Proiecția forței F pe axă Ohîn acest caz este negativ.

Forta F(Fig. 17) perpendicular pe ax Oh.

Proiecția forței F pe axă X zero

F x= F cos 90° = 0.

Forță situată pe un avion cum(Fig. 18), poate fi proiectat pe două axe de coordonate OhȘi OU.

Putere F poate fi împărțit în componente: F x și F y . Modulul vectorial F x este egal cu proiecția vectorială F pe axă bou, și modulul vectorului F y este egal cu proiecția vectorului F pe axă oi.

De la Δ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

De la Δ SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.

Modulul de forță poate fi găsit folosind teorema lui Pitagora:

Proiecție suma vectoriala sau rezultanta pe orice axa este egala cu suma algebrica a proiectiilor termenilor vectorilor de pe aceeasi axa.

Luați în considerare forțele convergente F 1 , F 2 , F 3, și F 4, (Fig. 19, a). Suma geometrică, sau rezultanta, a acestor forțe F determinată de latura de închidere a poligonului de forță

Picătură de la vârfurile poligonului de forță pe axă X perpendiculare.

Având în vedere proiecțiile de forțe obținute direct din construcția finalizată, avem

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

unde n este numărul de termeni ai vectorilor. Proiecțiile lor intră în ecuația de mai sus cu semnul corespunzător.

Într-un plan, suma geometrică a forțelor poate fi proiectată pe două axe de coordonate și, respectiv, în spațiu, pe trei.

Lecția practică numărul 1. Sistem plan de forțe convergente

Cunoașteți modalitățile de adunare a două forțe și de descompunere a forței în componente, metode geometrice și analitice pentru determinarea forței rezultante, condițiile de echilibru pentru un sistem de forțe convergent plat.

Sa poata determina rezultanta sistemului de forte, sa rezolve probleme de echilibru in mod geometric si analitic, alegand rational axele de coordonate.

Formule de calcul

Sistemul de forțe rezultat

Unde F ∑ x , F ∑ y - proiectii ale rezultantei pe axele de coordonate; F kx , F ky- proiecţii ale vectorilor-forţe ale sistemului pe axele de coordonate.

unde este unghiul rezultantei cu axa Ox.

Stare de echilibru

Dacă un sistem plat de forțe convergente este în echilibru, poligonul forțelor trebuie să fie închis.

Exemplul 1. Definirea sistemului rezultant de forţe.

Determinați rezultanta unui sistem plat de forțe convergente prin metode analitice și geometrice (Fig. A1.1). Dat:

Soluţie

1. Determinați rezultanta analitic (Fig. A1.1a).

2. Determinați grafic rezultatul.

Folosind un raportor pe o scară de 2 mm = 1 kN, construim un poligon de forțe (Fig. A1.1b). Prin măsurare, determinăm modulul forței rezultante și unghiul său de înclinare față de axa Ox.

Rezultatele calculului nu trebuie să difere cu mai mult de 5%:

Aşezare şi lucrare grafică Nr. 1. Determinarea sistemului plan rezultat al forțelor convergente prin metode analitice și geometrice

Exemplul 2. Rezolvarea problemei de echilibru într-un mod analitic.

Sarcinile sunt suspendate pe tije și frânghii și sunt în echilibru. Determinați reacțiile tijelor AB și CB (Fig. A1.2).

Soluţie

1. Determinăm direcțiile probabile ale reacțiilor (Fig. A1.2a). Scoateți mental tija AB, în timp ce tija SW omis, de aici ideea ÎN se îndepărtează de perete: scopul tijei AB- punct de tragere ÎN la Zid.

Dacă tija este îndepărtată SW, punct ÎN coboara, asadar, tija SW punct de sprijin ÎN de jos - reacția este îndreptată în sus.

2. Eliberați punctul ÎN din comunicare (Fig. A1.26).

3. Alegem direcția axelor de coordonate, axa Ox coincide cu reacția R1 .

4. Să scriem ecuațiile de echilibru pentru punct ÎN:

5. Din a doua ecuație obținem:

Din prima ecuație obținem:

Concluzie: nucleu ABîntins cu o forță de 28,07 kN, tijă SW comprimat cu o forță de 27,87 kN.

Notă. Dacă, la rezolvare, reacția conexiunii se dovedește a fi negativă, atunci vectorul forță este îndreptat în direcția opusă.

În acest caz, reacțiile sunt direcționate corect.

Determinați mărimea și direcția reacțiilor de legătură conform uneia dintre opțiunile prezentate în figură.

Sarcina 1

PRELEZA 4

Subiectul 1.3. Pereche de forțe și moment de forță aproximativ un punct

Cunoașteți denumirea, modulul și definiția momentelor unei perechi de forțe sau relativ la un punct, condițiile de echilibru pentru un sistem de perechi de forțe.

Să fiți capabil să determinați momentele perechilor de forțe și momentul forței relativ la un punct, să determinați momentul perechii de forțe rezultate.

Pereche de forțe, moment pentru câteva forțe

O pereche de forțe este un sistem de două forțe care au modul egal, paralele și direcționate în direcții diferite.

Luați în considerare sistemul de forțe ( F, F 1) formarea unei perechi.

1. O pereche de forțe determină rotația corpului, iar efectul acesteia asupra corpului este estimat de moment.
2. Forțele incluse în pereche nu se echilibrează, deoarece sunt aplicate în două puncte (Fig. 4.1). Acțiunea lor asupra corpului nu poate fi înlocuită cu o singură forță (rezultă).
3. Momentul unei perechi de forțe este numeric egal cu produsul dintre modulul de forță și distanța dintre liniile de acțiune ale forțelor ( umărul cuplului).
4. Momentul este considerat pozitiv dacă cuplul rotește corpul în sensul acelor de ceasornic (Fig. 4.1 b): M ( F; F") = Fa; M > 0.
5. Se numește avionul care trece prin liniile de acțiune ale forțelor cuplului planul de acţiune al perechii.

C1

Pentru o schemă de grinzi dată, este necesar să se găsească reacțiile de sprijin dacă l=14 m, a=3,8 m, b=5 m, M=11 kN m, F=10 kN.

Soluţie. Deoarece nu există încărcare orizontală, suportul A are doar o reacție verticală RA. Compunem ecuațiile de echilibru sub forma momentelor tuturor forțelor raportate la punctele A și B.

unde găsim

Pentru a verifica, compunem o ecuație de echilibru pentru axa verticală:

Întrebări de control

punctul de forță al balamalei fasciculului

Cum este proiecția forței pe axă?

Proiecția forței pe axă este o mărime algebrică egală cu produsul dintre modulul de forță și cosinusul unghiului dintre direcția pozitivă a axei și vectorul forță (adică acesta este segmentul reprezentat de forța pe axele corespunzătoare).

Px=Pcos?=Pcos90o=0;

Rx=Rcos? = -R cos(180o-?).

Proiecția forței pe axă este pozitivă, fig. 2 a) dacă 0 ? ?< ?/2.

În ce caz proiecția forței pe axă este egală cu zero?

Proiecția forței pe axă poate fi nulă, fig. 2 b) dacă? = ?/2.)

În ce caz proiecția forței pe axă este egală cu modulul forței?

Proiecția forței pe axă este egală cu modulul forței, dacă? =0?.

Când este negativă proiecția forței pe axă?

Proiecția forței pe axă poate fi negativă, fig. 2 c) dacă?/2< ? ? ?.

Câte ecuații de echilibru sunt compilate pentru un sistem de forțe convergent plat?

Forțele se numesc convergente dacă liniile lor de acțiune se intersectează într-un punct. Distingeți un sistem plat de forțe convergente, când liniile de acțiune ale tuturor acestor forțe se află în același plan.

Echilibrul unui sistem de forțe convergente.

Din legile mecanicii rezultă că un corp rigid, asupra căruia este acționat de forțe externe echilibrate reciproc, poate nu numai să fie în repaus, ci și să facă o mișcare, pe care o vom numi „prin inerție”. O astfel de mișcare va fi, de exemplu, mișcarea uniformă de translație și rectilinie a corpului.

De aici obținem două concluzii importante:

1) Condițiile pentru echilibrul staticii sunt îndeplinite de forțele care acționează atât asupra unui corp în repaus, cât și asupra unui corp care se deplasează „prin inerție”.

2) Echilibrul de forțe aplicat unui corp rigid liber este necesar, dar nu condiție suficientă echilibrul (odihna) propriului corp; in acest caz, corpul va fi in repaus doar daca a fost in repaus si pana in momentul in care i-au fost aplicate forte echilibrate.

Pentru echilibrul unui sistem de forțe convergente aplicate unui corp solid, este necesar și suficient ca rezultanta acestor forțe să fie egală cu zero. Condițiile pe care forțele în sine trebuie să le îndeplinească în acest caz pot fi exprimate în formă geometrică sau analitică.

1. Condiția de echilibru geometric. Deoarece rezultanta forțelor convergente este definită ca latura de închidere a poligonului de forță construit din aceste forțe, ea poate dispărea dacă și numai dacă sfârșitul ultimei forțe din poligon coincide cu începutul primei, adică atunci când poligonul se închide. .

În consecință, pentru echilibrul sistemului, forțe convergente, este necesar și suficient ca poligonul de forță construit din aceste forțe să fie închis.

2. Condiții de echilibru analitic. Analitic, rezultanta unui sistem de forțe convergente este determinată de formula

Deoarece suma termenilor pozitivi este sub rădăcină, R va dispărea numai atunci când ambii

adică atunci când forțele care acționează asupra corpului vor satisface egalitățile:

Egalitățile exprimă condițiile de echilibru într-o formă analitică: pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe convergente, este necesar și suficient ca sumele proiecțiilor acestor forțe pe fiecare dintre cele trei axe de coordonate să fie egale cu zero.

Dacă toate forțele convergente care acționează asupra corpului se află în același plan, atunci ele formează un sistem plat de forțe convergente. În cazul unui sistem plat de forțe convergente, obținem evident doar două condiții de echilibru

Egalitățile exprimă și ele conditiile necesare(sau ecuații) de echilibru al unui corp rigid liber sub acțiunea forțelor convergente.

În ce direcție este îndreptată reacția unei tije cu capete articulate?

În unele construcții, legătura este tija AB, fixată la capete cu balamale (Fig. 3). Să presupunem că greutatea tijei în comparație cu sarcina pe care o percepe poate fi neglijată. Apoi, asupra tijei vor acționa doar două forțe aplicate la balamalele A și B. Dar dacă tija AB este în echilibru, atunci forțele aplicate în punctele A și B trebuie direcționate de-a lungul unei linii drepte, adică de-a lungul axei tijei. . În consecință, o tijă încărcată la capete, a cărei greutate poate fi neglijată în comparație cu aceste sarcini, funcționează doar în tensiune sau compresie. Dacă o astfel de tijă este o legătură, atunci reacția tijei va fi direcționată de-a lungul axei tijei.

Care este momentul de forță la un punct?

Momentul forței relativ la un punct este determinat de produsul dintre modulul de forță și lungimea perpendicularei căzute de la punct la linia de acțiune a forței (Fig. 4, a). Când un corp este fixat în punctul O, forța tinde să-l rotească în jurul acestui punct. Punctul O, relativ la care este luat momentul, se numește centrul momentului, iar lungimea perpendicularei a se numește umărul forței față de centrul momentului.

Momentele forțelor se măsoară în newtonometre (N m) sau kilograme metri (kgf m) sau în multiplii corespunzători și unități submultiple, precum și momentele de perechi.

Când este momentul forței în jurul unui punct egal cu zero?

Când linia de acțiune a forței trece printr-un punct dat, impulsul său relativ la acest punct este egal cu zero, deoarece în cazul în cauză brațul este egal cu zero: a = 0 (Fig. 4, c).

Câte ecuații de echilibru sunt compilate pentru un sistem de forțe arbitrar plat?

Pentru un sistem arbitrar de forțe plat, pot fi întocmite trei ecuații de echilibru:

Cum sunt direcționate reacțiile în balamaua fixă?

Suport articulat fix (Fig. 5, suport B). Reacția unui astfel de suport trece prin axa balamalei și poate avea orice direcție în planul desenului. La rezolvarea problemelor vom reprezenta reacția prin componentele sale și pe direcțiile axelor de coordonate. Dacă, după rezolvarea problemei, găsim și, atunci se va determina și reacția; modulo

Cum este direcționată reacția în balamaua mobilă?

Suportul mobil cu balamale (Fig. 6, suport A) împiedică mișcarea corpului numai în direcția perpendiculară pe planul de alunecare al suportului. Reacția unui astfel de suport este îndreptată de-a lungul normalului la suprafața pe care se sprijină rolele suportului mobil.