Varianta unei variabile aleatoare care are o distribuție uniformă. Distribuția uniformă a unei variabile aleatoare continue. Exemple de rezolvare a problemei pentru o distribuție uniformă a probabilităților

Distribuție uniformă. Valoare aleatoare X are sensul coordonatei unui punct ales la întâmplare pe segment

[a, b. Densitatea de distribuție uniformă a unei variabile aleatoare X(Fig. 10.5, A) poate fi definit ca:

Orez. 10.5. Distribuția uniformă a unei variabile aleatoare: A- densitatea distributiei; b- functia de distributie

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X se pare ca:

Graficul funcției de distribuție uniformă este prezentat în fig. 10.5, b.

Transformarea Laplace a distribuției uniforme se calculează prin (10.3):

Așteptările și varianța matematică sunt ușor de calculat direct din definițiile respective:

Formule similare pentru așteptarea și varianța matematică pot fi, de asemenea, obținute folosind transformata Laplace folosind formulele (10.8), (10.9).

Luați în considerare un exemplu de sistem de servicii care poate fi descris printr-o distribuție uniformă.

Circulația la intersecție este reglementată de un semafor automat, în care semaforul verde este aprins 1 minut și roșu 0,5 minute. Șoferii se apropie de intersecție la ore aleatorii cu o distribuție uniformă care nu are legătură cu funcționarea semaforului. Găsiți probabilitatea ca mașina să treacă de intersecție fără a se opri.

Momentul trecerii mașinii prin intersecție este distribuit uniform în intervalul 1 + 0,5 = 1,5 min. Mașina va trece prin intersecție fără oprire dacă momentul traversării intersecției se încadrează în intervalul de timp . Pentru o variabilă aleatoare uniform distribuită în interval, probabilitatea de a cădea în interval este 1/1,5=2/3. Timpul de așteptare Mr este o variabilă aleatoare mixtă. Cu o probabilitate de 2/3 este egală cu zero, iar cu o probabilitate de 0,5/1,5 ia orice valoare între 0 și 0,5 min. Prin urmare, timpul mediu de așteptare și variația așteptării la intersecție

Distribuție exponențială (exponențială). Pentru o distribuție exponențială, densitatea distribuției unei variabile aleatoare poate fi scrisă ca:

unde A se numește parametru de distribuție.

Graficul densității de probabilitate a distribuției exponențiale este dat în fig. 10.6, A.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare cu distribuție exponențială are forma

Orez. 10.6. Distribuția exponențială a unei variabile aleatoare: A- densitatea distributiei; b - funcția de distribuție

Graficul funcției de distribuție exponențială este prezentat în fig. 10.6, 6.

Transformarea Laplace a distribuției exponențiale se calculează prin (10.3):

Să arătăm asta pentru o variabilă aleatoare X, având o distribuție exponențială, așteptarea matematică este egală cu abaterea standard a și invers cu parametrul A,:

Astfel, pentru distribuţia exponenţială avem: Se mai poate demonstra că

acestea. distribuția exponențială este pe deplin caracterizată de medie sau parametru X .

Distribuția exponențială are un număr proprietăți utile, care sunt utilizate în sistemele de servicii de modelare. De exemplu, nu are memorie. Când , Acea

Cu alte cuvinte, dacă variabila aleatoare corespunde timpului, atunci distribuția duratei rămase nu depinde de timpul care a trecut deja. Această proprietate este ilustrată în Fig. 10.7.

Orez. 10.7.

Luați în considerare un exemplu de sistem ai cărui parametri de funcționare pot fi descriși printr-o distribuție exponențială.

În timpul funcționării unui anumit dispozitiv, defecțiunile apar în momente aleatorii. Durata de funcționare a dispozitivului T de la activarea acesteia până la apariția unei defecțiuni este distribuită conform unei legi exponențiale cu parametrul X. Dacă este detectată o defecțiune, dispozitivul intră imediat în reparație, care durează timp / 0 . Să găsim funcția de densitate și distribuție a intervalului de timp Г dintre două erori adiacente, așteptarea și varianța matematică, precum și probabilitatea ca timpul T x Vor fi mai multe 2t0 .

De atunci

Distributie normala. Normal este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care este descrisă de densitate

Din (10.48) rezultă că distribuția normală este determinată de doi parametri - așteptarea matematică T iar dispersia a 2 . Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare cu o distribuție normală pentru t= 0, iar 2 =1 este prezentat în fig. 10.8, A.

Orez. 10.8. Legea normală de distribuție a unei variabile aleatoare la T= 0, st 2 = 1: A- probabilitate densitate; 6 - functia de distributie

Funcția de distribuție este descrisă de formula

Graficul funcției de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare distribuite normal la T= 0, iar 2 = 1 este prezentat în fig. 10.8, b.

Să determinăm probabilitatea ca X va lua o valoare aparținând intervalului (a, p):

Unde este funcția Laplace și probabilitatea ca

că valoarea absolută a abaterii este mai mică decât numărul pozitiv 6:

În special, când t = 0 egalitatea este adevărată:

După cum puteți vedea, o variabilă aleatoare cu o distribuție normală poate lua atât valori pozitive, cât și negative. Prin urmare, pentru a calcula momentele, este necesar să folosiți transformarea Laplace cu două fețe

Cu toate acestea, această integrală nu există neapărat. Dacă există, în loc de (10.50) se folosește de obicei expresia

Care e numit functie caracteristica sau funcţia generatoare a momentelor.

Să calculăm prin formula (10.51) funcția generatoare a momentelor distribuției normale:

După conversia numărătorului expresiei subexponențiale în formă, obținem

Integral

deoarece este o integrală a densității normale de probabilitate cu parametri t + deci 2și un 2. Prin urmare,

Diferențiând (10.52), obținem

Din aceste expresii, puteți găsi momentele:

Distribuția normală este utilizată pe scară largă în practică, deoarece, conform teoremei limitei centrale, dacă o variabilă aleatoare este o sumă de foarte multe un numar mare variabile aleatoare reciproc independente, influența fiecăreia asupra întregii sume este neglijabilă, atunci are o distribuție apropiată de normală.

Luați în considerare un exemplu de sistem ai cărui parametri pot fi descriși printr-o distribuție normală.

Compania produce o parte de o dimensiune dată. Calitatea unei piese este evaluată prin măsurarea dimensiunii acesteia. Erorile de măsurare aleatorii sunt supuse legii normale cu abatere standard A - Yumkm. Să găsim probabilitatea ca eroarea de măsurare să nu depășească 15 µm.

Prin (10.49) găsim

Pentru comoditatea utilizării distribuțiilor considerate, rezumăm formulele obținute în tabel. 10.1 și 10.2.

Tabelul 10.1. Principalele caracteristici ale distribuțiilor continue

Tabelul 10.2. Funcții generatoare ale distribuțiilor continue

ÎNTREBĂRI DE CONTROL

• 1. Ce distribuții de probabilitate sunt considerate continue?
• 2. Ce este transformarea Laplace-Stieltjes? Pentru ce este folosit?
• 3. Cum se calculează momentele variabilelor aleatoare folosind transformata Laplace-Stieltjes?
• 4. Care este transformata Laplace a sumei variabilelor aleatoare independente?
• 5. Cum se calculează timpul mediu și varianța timpului de tranziție a sistemului de la o stare la alta folosind grafice de semnal?
• 6. Prezentați principalele caracteristici ale unei distribuții uniforme. Dați exemple de utilizare a acestuia în sarcini de service.
• 7. Prezentați principalele caracteristici ale distribuției exponențiale. Dați exemple de utilizare a acestuia în sarcini de service.
• 8. Prezentați principalele caracteristici ale distribuției normale. Dați exemple de utilizare a acestuia în sarcini de service.

Ca exemplu de variabilă aleatoare continuă, luați în considerare o variabilă aleatoare X distribuită uniform pe intervalul (a; b). Spunem că variabila aleatoare X distribuite uniform pe intervalul (a; b), dacă densitatea sa de distribuție nu este constantă pe acest interval:

Din condiția de normalizare, determinăm valoarea constantei c . Aria de sub curba densității distribuției ar trebui să fie egală cu unu, dar în cazul nostru este aria unui dreptunghi cu o bază (b - α) și o înălțime c (Fig. 1).

Orez. 1 Densitate uniformă de distribuție
De aici găsim valoarea constantei c:

Deci, densitatea unei variabile aleatoare distribuite uniform este egală cu

Să găsim acum funcția de distribuție prin formula:
1) pentru
2) pentru
3) pentru 0+1+0=1.
Prin urmare,

Funcția de distribuție este continuă și nu scade (Fig. 2).

Orez. 2 Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform

Sa gasim așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuite uniform dupa formula:

Varianta uniformă de distribuție se calculează prin formula și este egal cu

Exemplul #1. Valoarea diviziunii la scară a instrumentului de măsură este 0,2. Citirile instrumentului sunt rotunjite la cea mai apropiată diviziune întreagă. Aflați probabilitatea ca în timpul citirii să se facă o eroare: a) mai mică de 0,04; b) mare 0,02
Soluţie. Eroarea de rotunjire este o variabilă aleatoare distribuită uniform pe intervalul dintre diviziunile întregi adiacente. Considerați intervalul (0; 0,2) ca o astfel de împărțire (Fig. a). Rotunjirea poate fi efectuată atât spre marginea stângă - 0, cât și spre dreapta - 0,2, ceea ce înseamnă că o eroare mai mică sau egală cu 0,04 poate fi făcută de două ori, care trebuie luată în considerare la calcularea probabilității:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Pentru al doilea caz, valoarea erorii poate depăși, de asemenea, 0,02 pe ambele granițe de diviziune, adică poate fi fie mai mare decât 0,02, fie mai mică de 0,18.


Atunci probabilitatea unei erori ca aceasta:

Exemplul #2. S-a presupus că stabilitatea situației economice din țară (absența războaielor, dezastrelor naturale etc.) în ultimii 50 de ani poate fi judecată după natura distribuției populației pe vârstă: într-o situație calmă, ar trebui să fie uniformă. În urma studiului, s-au obținut următoarele date pentru una dintre țări.

Efectuăm decizia folosind calculatorul Testarea ipotezei. Tabel pentru calcularea indicatorilor.

Soluţie:
1. Găsiți estimările parametrilor a * și b * ai distribuției uniforme folosind formulele:


2. Aflați densitatea distribuției uniforme presupuse:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Găsiți frecvențele teoretice:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
Restul n s vor fi egali:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)