Soluția obișnuită. O decizie obișnuită, care a intrat în vigoare legală, poate fi revizuită pe cale de supraveghere și ca urmare a unor circumstanțe nou descoperite. Cazuri speciale la rezolvarea ecuațiilor liniare

O ecuație cu o necunoscută, care, după ce deschide parantezele și aduce termeni similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 = 13 în loc de necunoscutul x înlocuim numărul 2, obținem egalitatea corectă 3 2 +7 = 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 2 este soluția sau rădăcina a ecuației.

Iar valoarea x = 3 nu transformă ecuația 3x + 7 = 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 +7 ≠ 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Să mutăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = ‒ b/a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Să mutăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x = 11 – 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x = 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar și b este egal cu 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Să extindem parantezele:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Iată câțiva termeni similari:
0x = 0.

Răspuns: x - orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă și termeni liberi în partea dreaptă:
x – x = 5 – 8.

Iată câțiva termeni similari:
0х = ‒ 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe Figura 1 prezintă o diagramă pentru rezolvarea unei ecuații liniare

Să întocmim o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Să luăm în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa termenii care conțin termeni necunoscuți și cei liberi, deschideți parantezele:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Să grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Să prezentăm termeni similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la – 22, obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

In general asa ecuațiile pot fi rezolvate folosind următoarea schemă:

a) aduceți ecuația la forma sa întreagă;

b) deschideți parantezele;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 1, 3) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Aflați necunoscutul x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Să ne uităm la rezolvarea unor ecuații liniare găsite în examenul de stat principal.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7. Rezolvați ecuația – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Exemplul 9. Aflați f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x = 6 – 2, x = 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări sau doriți să înțelegeți mai bine rezolvarea ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele din PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

TutorOnline vă recomandă, de asemenea, să vizionați o nouă lecție video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În acest videoclip vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Mai întâi, să definim: ce este o ecuație liniară și care se numește cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai la primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Dați termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori după toate aceste mașinațiuni coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când se dovedește ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un alt număr decât zero. În videoclipul de mai jos vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează toate acestea folosind exemple din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să extindeți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi combinați similar
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică mutați tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - într-o parte și mutați tot ce rămâne fără ea în cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea tot ce rămâne este să împărțiți cu coeficientul lui „x”, iar vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, erorile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau ca soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Ne vom uita la aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Mai întâi, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Izolăm variabilele, adică Mutăm tot ce conține „X” într-o parte și tot ce nu conține „X” în cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul lui „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina nr. 1

Primul pas ne cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă trebuie să izolam variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai sa o scriem:

Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la pasul al patrulea: împărțim la coeficient:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Deci am primit răspunsul.

Sarcina nr. 2

Putem vedea parantezele din această problemă, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ acelasi design, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. separarea variabilelor:

Iată câteva asemănătoare:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina nr. 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Aici sunt mai multe paranteze, dar nu sunt înmulțite cu nimic, pur și simplu sunt precedate de semne diferite. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hai să facem calculul:

Efectuăm ultimul pas - împărțim totul la coeficientul lui „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr ca și ceilalți;

O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui simplu fapt te va ajuta să eviți să faci greșeli stupide și rănitoare în liceu, când a face astfel de lucruri este luat de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și la efectuarea diferitelor transformări va apărea o funcție pătratică. Cu toate acestea, nu ar trebui să ne fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform planului autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în timpul procesului de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică se vor anula cu siguranță.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să aruncăm o privire asupra confidențialității:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie asta în răspuns:

\[\varnothing\]

sau nu există rădăcini.

Exemplul nr. 2

Efectuăm aceleași acțiuni. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o vom scrie astfel:

\[\varnothing\],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am convins încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, ambele pur și simplu nu au rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Vă rugăm să rețineți: se înmulțește fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, puteți deschide paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt pur și simplu schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu va mai trebui să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul pe o singură linie. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem puțină confidențialitate:

Iată câteva asemănătoare:

Să parcurgem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, aceștia s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie liniară și nu pătratică.

Sarcina nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem cu atenție primul pas: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. Ar trebui să existe un total de patru termeni noi după transformări:

Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „X” la stânga și cei fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Încă o dată am primit răspunsul final.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim paranteze care conțin mai mult de un termen, acest lucru se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca urmare, vom avea patru mandate.

Despre suma algebrică

Cu acest ultim exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădeți șapte din unu. În algebră, înțelegem următoarele prin aceasta: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Acesta este modul în care o sumă algebrică diferă de o sumă aritmetică obișnuită.

De îndată ce, atunci când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc algoritmul nostru:

1. Deschideți parantezele.
2. Variabile separate.
3. Aduceți altele asemănătoare.
4. Împărțiți la raport.

Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție atât în ​​stânga cât și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăparea de fracții. Deci algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți parantezele.
3. Variabile separate.
4. Aduceți altele asemănătoare.
5. Împărțiți la raport.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice la numitorul lor, adică. Peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, vom scăpa de fracții.

Exemplul nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai sa scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să extindem:

Izolam variabila:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, să trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema este rezolvată.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun astăzi.

Puncte cheie

Constatările cheie sunt:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu vă faceți griji dacă aveți funcții pătratice undeva, cel mai probabil, acestea vor fi reduse în procesul de transformări ulterioare;
• Există trei tipuri de rădăcini în ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nicio rădăcină.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site și rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, vă așteaptă multe alte lucruri interesante!

Ecuații liniare. Soluție, exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ecuații liniare.

Ecuațiile liniare nu sunt subiectul cel mai dificil în matematica școlară. Dar există câteva trucuri acolo care pot deruta chiar și un student instruit. Să ne dăm seama?)

De obicei, o ecuație liniară este definită ca o ecuație de forma:

topor + b = 0 Unde a și b– orice numere.

2x + 7 = 0. Aici a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Aici a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Aici a=12, b=1/2

Nimic complicat, nu? Mai ales dacă nu observi cuvintele: „unde a și b sunt numere”... Și dacă observi și te gândești nepăsător la asta?) La urma urmei, dacă a=0, b=0(este posibile numere?), atunci obținem o expresie amuzantă:

Dar asta nu este tot! Dacă, să zicem, a=0, O b=5, Acesta se dovedește a fi ceva complet ieșit din comun:

Ceea ce este enervant și subminează încrederea în matematică, da...) Mai ales în timpul examenelor. Dar din aceste expresii ciudate trebuie să găsiți și X! Care nu există deloc. Și, surprinzător, acest X este foarte ușor de găsit. Vom învăța să facem asta. În această lecție.

Cum să recunoaștem o ecuație liniară după aspectul ei? Depinde de aspect.) Trucul este că ecuațiile liniare nu sunt doar ecuații de formă topor + b = 0 , dar și orice ecuații care pot fi reduse la această formă prin transformări și simplificări. Și cine știe dacă scade sau nu?)

O ecuație liniară poate fi recunoscută clar în unele cazuri. Să zicem, dacă avem o ecuație în care există doar necunoscute de gradul întâi și numere. Și în ecuație nu există fracții împărțite la necunoscut , asta este important! Și împărțirea după număr, sau o fracție numerică - binevenit! De exemplu:

Aceasta este o ecuație liniară. Există fracții aici, dar nu există x-uri în pătrat, cub etc. și nici x în numitori, adică. Nu împărțirea cu x. Și aici este ecuația

nu poate fi numit liniar. Aici X-urile sunt toate de gradul I, dar există împărțirea prin expresie cu x. După simplificări și transformări, puteți obține o ecuație liniară, o ecuație pătratică sau orice doriți.

Se pare că este imposibil să recunoști ecuația liniară într-un exemplu complicat până când aproape că o rezolvi. Acest lucru este supărător. Dar în teme, de regulă, ei nu întreabă despre forma ecuației, nu? Sarcinile cer ecuații decide. Acest lucru mă face fericit.)

Rezolvarea ecuațiilor liniare. Exemple.

Întreaga soluție a ecuațiilor liniare constă din transformări identice ale ecuațiilor. Apropo, aceste transformări (două dintre ele!) stau la baza soluțiilor toate ecuațiile matematicii. Cu alte cuvinte, soluția orice ecuația începe chiar cu aceste transformări. În cazul ecuațiilor liniare, aceasta (soluția) se bazează pe aceste transformări și se termină cu un răspuns complet. Are sens să urmezi linkul, nu?) Mai mult decât atât, există și exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare acolo.

În primul rând, să ne uităm la cel mai simplu exemplu. Fara capcane. Să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație.

x - 3 = 2 - 4x

Aceasta este o ecuație liniară. X-urile sunt toate în prima putere, nu există nicio împărțire cu X. Dar, de fapt, nu contează pentru noi ce fel de ecuație este. Trebuie să o rezolvăm. Schema de aici este simplă. Strângeți totul cu X în partea stângă a ecuației, totul fără X (numerele) în dreapta.

Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați - 4x în partea stângă, cu o schimbare de semn, desigur, și - 3 - La dreapta. Apropo, asta este prima transformare identică a ecuaţiilor. Surprins? Asta înseamnă că nu ai urmat linkul, dar în zadar...) Primim:

x + 4x = 2 + 3

Iată altele asemănătoare, luăm în considerare:

De ce avem nevoie pentru fericirea deplină? Da, ca să fie un X pur în stânga! Cinci este în cale. Scapa de cei cinci cu ajutorul a doua transformare identică a ecuaţiilor.Și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la 5. Obținem un răspuns gata:

Un exemplu elementar, desigur. Aceasta este pentru încălzire.) Nu este foarte clar de ce mi-am amintit transformări identice aici? BINE. Să luăm taurul de coarne.) Să hotărâm ceva mai solid.

De exemplu, iată ecuația:

De unde începem? Cu X - la stânga, fără X - la dreapta? Este posibil. Pași mici de-a lungul unui drum lung. Sau o poți face imediat, într-un mod universal și puternic. Dacă, desigur, aveți transformări identice de ecuații în arsenalul dvs.

Vă pun o întrebare cheie: Ce îți displace cel mai mult la această ecuație?

95 din 100 de persoane vor răspunde: fractii ! Răspunsul este corect. Deci hai să scăpăm de ei. Prin urmare, începem imediat cu a doua transformare a identităţii. Cu ce ​​aveți nevoie pentru a înmulți fracția din stânga, astfel încât numitorul să fie complet redus? Așa e, la 3. Și în dreapta? Prin 4. Dar matematica ne permite să înmulțim ambele părți cu acelasi numar. Cum putem ieși? Să înmulțim ambele părți cu 12! Aceste. la un numitor comun. Atunci atât cele trei, cât și cele patru vor fi reduse. Nu uitați că trebuie să înmulțiți fiecare parte în întregime. Iată cum arată primul pas:

Extinderea parantezelor:

Fiţi atenți! Numărător (x+2) L-am pus intre paranteze! Acest lucru se datorează faptului că la înmulțirea fracțiilor, întregul numărător este înmulțit! Acum puteți reduce fracțiile:

Extindeți parantezele rămase:

Nu un exemplu, ci pură plăcere!) Acum să ne amintim o vrajă din școala elementară: cu un X - la stânga, fără un X - la dreapta!Și aplicați această transformare:

Iată câteva asemănătoare:

Și împărțiți ambele părți la 25, adică. aplica din nou a doua transformare:

Asta este. Răspuns: X=0,16

Vă rugăm să rețineți: pentru a aduce ecuația originală confuză într-o formă frumoasă, am folosit două (doar două!) transformări identitare– translație stânga-dreapta cu schimbare de semn și înmulțire-împărțire a unei ecuații cu același număr. Aceasta este o metodă universală! Vom lucra în acest fel cu orice ecuatii! Absolut oricine. De aceea repet obositor despre aceste transformări identice tot timpul.)

După cum puteți vedea, principiul rezolvării ecuațiilor liniare este simplu. Luăm ecuația și o simplificăm folosind transformări identice până când obținem răspunsul. Principalele probleme aici sunt în calcule, nu în principiul soluției.

Dar... Există astfel de surprize în procesul de rezolvare a celor mai elementare ecuații liniare, încât te pot duce într-o puternică stupoare...) Din fericire, nu pot exista decât două astfel de surprize. Să le numim cazuri speciale.

Cazuri speciale în rezolvarea ecuațiilor liniare.

Prima surpriză.

Să presupunem că întâlniți o ecuație foarte simplă, ceva de genul:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Puțin plictisit, o mutam cu un X la stânga, fără un X - la dreapta... Cu schimbare de semn totul este perfect... Obținem:

2x-5x+3x=5-2-3

Numărăm și... hopa!!! Primim:

Această egalitate în sine nu este inacceptabilă. Zero este într-adevăr zero. Dar X lipsește! Și trebuie să scriem în răspuns, cu ce este x egal? Altfel, soluția nu contează, nu...) Blocaj?

Calm! În astfel de cazuri îndoielnice, cele mai generale reguli te vor salva. Cum se rezolvă ecuațiile? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație? Acest lucru înseamnă, găsiți toate valorile lui x care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, ne vor oferi egalitatea corectă.

Dar avem egalitate adevărată deja a funcționat! 0=0, cu cât mai precis?! Rămâne să ne dăm seama ce x se întâmplă asta. În ce valori ale lui X pot fi înlocuite original ecuația dacă aceste x-uri vor fi totusi reduse la zero? Haide?)

Da!!! X-urile pot fi înlocuite orice! Pe care le vrei? Cel puțin 5, cel puțin 0,05, cel puțin -220. Se vor micșora în continuare. Dacă nu mă credeți, puteți verifica.) Înlocuiți orice valori ale lui X în original ecuație și calculează. Tot timpul vei obține adevărul pur: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 și așa mai departe.

Iată răspunsul tău: x - orice număr.

Răspunsul poate fi scris în diferite simboluri matematice, esența nu se schimbă. Acesta este un răspuns complet corect și complet.

A doua surpriză.

Să luăm aceeași ecuație liniară elementară și să schimbăm doar un număr din ea. Iată ce vom decide:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

După aceleași transformări identice, obținem ceva intrigant:

Ca aceasta. Am rezolvat o ecuație liniară și am obținut o egalitate ciudată. În termeni matematici, am primit falsă egalitate. Dar în termeni simpli, acest lucru nu este adevărat. Rave. Dar, cu toate acestea, acest nonsens este un motiv foarte bun pentru rezolvarea corectă a ecuației.)

Din nou gândim pe baza unor reguli generale. Ce x, atunci când sunt substituite în ecuația originală, ne vor da adevărat egalitate? Da, niciunul! Nu există astfel de X-uri. Indiferent ce ai pune, totul se va reduce, vor rămâne doar prostii.)

Iată răspunsul tău: nu exista solutii.

Acesta este, de asemenea, un răspuns complet complet. În matematică, astfel de răspunsuri sunt adesea găsite.

Ca aceasta. Acum, sper că dispariția lui X în procesul de rezolvare a oricărei ecuații (nu doar liniare) nu vă va deruta deloc. Aceasta este deja o chestiune familiară.)

Acum că ne-am ocupat de toate capcanele din ecuațiile liniare, este logic să le rezolvăm.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

O hotărâre în lipsă, pe lângă modalitățile excepționale de hotărâre prevăzute de lege, poate fi anulată de aceeași instanță, cu reluarea judecății cauzei pe fond la cererea pârâtului, dacă acesta poate dovedi că neprezentarea la ședința de judecată a fost cauzată de motive întemeiate.

Este posibilă revizuirea unei hotărâri care a intrat în vigoare legală în casare dacă instanța a reintrodus termenul de casare ratat pentru un motiv întemeiat.

Proprietate de exclusivitate:

Proprietatea exclusivității este imposibilitatea de a se redresa instanței de judecată cu o cerere, plângere, declarație, într-o cauză între aceleași părți sau succesorii lor legali, pe același subiect și întemeiat pe aceleași împrejurări (motivele acțiunii), dacă există o hotărâre care a intrat în vigoare.

Dacă, după intrarea în vigoare a hotărârii prin care se încasează plăți periodice de la pârât, se modifică împrejurările care afectează stabilirea cuantumului plăților sau durata acestora, atunci fiecare parte are dreptul, prin depunerea unei noi cereri, să ceară modificarea sumei și a calendarului plăților.

În acest caz, noi cereri devin subiect de examinare de către instanță, se ia o nouă hotărâre, care intră în vigoare conform regulilor generale.

Depunerea unei cereri identice spre examinare este, de asemenea, inacceptabilă atunci când, în cursul examinării inițiale, litigiul dintre părți a fost în final soluționat printr-o hotărâre privind aprobarea unui acord de tranzacționare sau cu privire la refuzul reclamantului de a formula cererile sale. O a doua cale de atac la instanță nu este admisă dacă procedura este încheiată.

Proprietate obligatorie:

Obligatoriu înseamnă că organele guvernamentale, funcționarii, organizațiile și cetățenii sunt obligați să-și subordoneze activitățile conținutului hotărârii.

Codul de procedură civilă subliniază că decizia este obligatorie pe întreg teritoriul Federației Ruse, iar în cazurile prevăzute de lege, instanțele din Federația Rusă se pot adresa instanțelor străine cu o cerere de executare a deciziilor.

Organele și funcționarii statului sunt obligați să întreprindă acțiunile necesare pentru oficializarea și înregistrarea drepturilor stabilite printr-o hotărâre judecătorească care a intrat în vigoare.

O hotărâre judecătorească, după intrarea în vigoare, trebuie executată de bunăvoie de către persoanele obligate, iar, în cazurile necesare, cu forța de către organele executive.

Necesitatea implementării acțiunilor prevăzute în hotărâre se numește executorie a hotărârilor.

Este o parte integrantă a obligației. Conceptul de obligație este mai larg decât caracterul executoriu, acesta acoperă și obligația tuturor persoanelor și organizațiilor care nu au un interes juridic direct într-o anumită cauză de a ține cont de autoritatea hotărârii judecătorești și de a contribui la implementarea acesteia.

Hotărârile în toate cazurile sunt obligatorii, dar nu toate necesită executare, întrucât nu pot fi executate. De exemplu, deciziile privind cererile de recunoaștere nu necesită acțiuni specifice pentru protejarea dreptului atacat de pârât. Pentru ca acestea să fie obligatorii, este suficient ca instanța să recunoască anumite împrejurări sau raporturi juridice (exemplu: stabilirea paternității, recunoașterea dreptului de autor etc.).

Deciziile privind cererile de recunoaștere pot avea un efect prejudiciabil într-un caz privind o cerere de atribuire. De exemplu, decizia de stabilire a paternității are semnificație prejudiciabilă pentru cazul unei cereri de recuperare a pensiei alimentare. De asemenea, decizia de recunoaștere a dreptului de autor este obligatorie pentru instanță în cazul încasării redevențelor de la editură.

Codul Familiei al Federației Ruse, pe lângă problemele legate de dreptul familiei, introduce mai multe reguli procedurale cu privire la acțiunile (responsabilitățile) instanței după luarea unei decizii. De exemplu, IC indică faptul că instanța este obligată, în termen de 3 zile de la data intrării în vigoare a hotărârii judecătorești de divorț, să trimită un extras din această hotărâre la oficiul stării civile de la locul înregistrării de stat a căsătorie.

Dreptul familiei impune instanței de judecată să întreprindă anumite acțiuni pentru executarea deciziei. După intrarea în vigoare, hotărârile judecătorești dobândesc proprietăți derivate din esența forței juridice, calitatea de prejudicialitate (predeterminare).

Prejudicialitatea înseamnă că raporturile și faptele stabilite de instanță și consemnate prin hotărâre nu pot fi infirmate în cursul studiului secundar al acestora de către organele judiciare și administrative.

Prejudecata se reduce la reguli:

(1) Instanța, organele de administrație, care acționează în calitate de organe jurisdicționale, reanalizează faptele și raporturile, în întregime sau parțial, al căror conținut a fost stabilit de instanță printr-o hotărâre care a intrat în vigoare, sunt obligate să întemeieze hotărârile lor asupra acestor fapte și raporturi în aceeași formă în care au fost stabilite, adică faptele deja constatate în hotărârea judecătorească nu se dovedesc din nou.

2. Partea care își întemeiază pretențiile pe raporturi juridice care au făcut în totalitate sau parțial obiectul unei hotărâri judecătorești intrat în vigoare nu trebuie să dovedească în mod repetat existența acestor raporturi juridice, conținutul elementelor componentelor sale, precum și faptele juridice care stau la baza pretențiilor părților.

Relațiile și faptele sunt considerate valabile și nu fac obiectul probei atâta timp cât puterea juridică a hotărârii este în vigoare, adică până la anularea hotărârii. Cealaltă parte, contestând cererea reclamantului, nu poate prezenta probe care să infirme faptele și împrejurările stabilite anterior de instanță, precum și să ceară instanței să le examineze și să le atașeze cauzei.

3. În cazul în care subiectul studiului este un raport al cărui conținut este stabilit printr-o hotărâre care a intrat în vigoare, atunci predeterminarea, adică prejudiciul, se aplică raporturilor juridice integral în orice parte a acestuia în forma în care aceasta. a făcut obiectul cercetărilor judiciare.

O hotărâre care a intrat în vigoare legal are semnificație prejudiciabilă în examinarea unei cauze penale. Un verdict într-o cauză penală care a intrat în vigoare legal este obligatoriu pentru instanța care examinează cauza privind consecințele juridice civile ale acțiunilor unei persoane în legătură cu care s-a pronunțat verdictul instanței cu privire la chestiunile dacă această acțiune a avut loc și dacă a fost comisă de această persoană.